Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:
- S=p(p−a)(p−b)(p−c),{displaystyle S={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
где p — полупериметр треугольника: p=a+b+c2{displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}}
.Доказательство:
- S=12ab⋅sinγ{displaystyle S={1 over 2}abcdot sin {gamma }} ,
где γ{displaystyle gamma }теореме косинусов:
— угол треугольника, противолежащий стороне c{displaystyle c} . По- c2=a2+b2−2ab⋅cosγ,{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma ,}
Отсюда:
- cosγ=a2+b2−c22ab,{displaystyle cos gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} over 2ab},}
Значит,
- sin2γ=1−cos2γ=(1−cosγ)(1+cosγ)={displaystyle sin ^{2}gamma =1-cos ^{2}gamma =(1-cos gamma )(1+cos gamma )=}
- =2ab−a2−b2+c22ab⋅2ab+a2+b2−c22ab={displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} over 2ab}cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} over 2ab}=}
- =c2−(a−b)22ab⋅(a+b)2−c22ab=14a2b2(c−a+b)(c+a−b)(a+b−c)(a+b+c){displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} over 2ab}cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} over 2ab}={1 over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)} .
Замечая, что a+b+c=2p{displaystyle a+b+c=2p}
, a+b−c=2p−2c{displaystyle a+b-c=2p-2c} , a+c−b=2p−2b{displaystyle a+c-b=2p-2b} , c−a+b=2p−2a{displaystyle c-a+b=2p-2a} , получаем:- sinγ=2abp(p−a)(p−b)(p−c).{displaystyle sin gamma ={2 over ab}{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
Таким образом,
- S=12absinγ=p(p−a)(p−b)(p−c),{displaystyle S={1 over 2}absin gamma ={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
Содержание
- 1 История
- 2 Вариации
- 3 Обобщения
- 4 Для сферического треугольника
- 5 См. также
- 6 Примечания
- 7 Литература
История
Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Вариации
- Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
- S=14(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4){displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
- S=142(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4){displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
- S=14(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)(a+b+c).{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}
- S=144a2b2−(a2+b2−c2)2.{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}
- Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
- −16S2=|0a2b21a20c21b2c2011110|=|abc0ba0cc0ab0cba|{displaystyle -16S^{2}={begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}={begin{vmatrix}a&b&c&0\b&a&0&c\c&0&a&b\0&c&b&aend{vmatrix}}}
- Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.) (рус. для вычисления гиперобъёма симплекса.
- Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым [2][3] для формулы Герона.
Аналоги формулы Герона
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.
- Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [4]
- S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc).{displaystyle S={frac {4}{3}}{sqrt {sigma (sigma -m_{a})(sigma -m_{b})(sigma -m_{c})}}.}
- Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через H=(ha−1+hb−1+hc−1)/2{displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}[5] . Тогда имеем
- S−1=4H(H−ha−1)(H−hb−1)(H−hc−1){displaystyle S^{-1}=4{sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}
или в развернутом видеS=1(1ha+1hb+1hc)(1hc+1hb−1ha)(1ha+1hc−1hb)(1ha+1hb−1hc){displaystyle S={frac {1}{sqrt {({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}+{frac {1}{h_{c}}})({frac {1}{h_{c}}}+{frac {1}{h_{b}}}-{frac {1}{h_{a}}})({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{c}}}-{frac {1}{h_{b}}})({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}-{frac {1}{h_{c}}})}}}}
- Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [6]
- S=D2s(s−sinα)(s−sinβ)(s−sinγ).{displaystyle S=D^{2}{sqrt {s(s-sin alpha )(s-sin beta )(s-sin gamma )}}.}
Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника: D=asinα=bsinβ=csinγ.{displaystyle D={tfrac {a}{sin alpha }}={tfrac {b}{sin beta }}={tfrac {c}{sin gamma }}.}
Обобщения
- Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
- S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d),{displaystyle S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},}
- где p=a+b+c+d2{displaystyle p={frac {a+b+c+d}{2}}} — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)
- Та же Формула Брахмагупты через определитель[7]:
S=14−|abc−dba−dcc−dab−dcba|{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}}
- Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. [2].
- Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны l1,l2,l3,l4,l5,l6{displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}} , то для его объёма V{displaystyle V} верно выражение
- 144V2=l12l52(l22+l32+l42+l62−l12−l52)+l22l62(l12+l32+l42+l52−l22−l62)+l32l42(l12+l22+l52+l62−l32−l42)−l12l22l42−l22l32l52−l12l32l62−l42l52l62{displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}} .
- Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде:
Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы [8]
- volume=(−a+b+c+d)(a−b+c+d)(a+b−c+d)(a+b+c−d)192uvw{displaystyle {text{volume}}={frac {sqrt {,(-a+b+c+d),(a-b+c+d),(a+b-c+d),(a+b+c-d)}}{192,u,v,w}}}
где
- a=xYZb=yZXc=zXYd=xyzX=(w−U+v)(U+v+w)x=(U−v+w)(v−w+U)Y=(u−V+w)(V+w+u)y=(V−w+u)(w−u+V)Z=(v−W+u)(W+u+v)z=(W−u+v)(u−v+W).{displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {xYZ}}\b&={sqrt {yZX}}\c&={sqrt {zXY}}\d&={sqrt {xyz}}\X&=(w-U+v),(U+v+w)\x&=(U-v+w),(v-w+U)\Y&=(u-V+w),(V+w+u)\y&=(V-w+u),(w-u+V)\Z&=(v-W+u),(W+u+v)\z&=(W-u+v),(u-v+W).end{aligned}}}
Для сферического треугольника
- Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны θa=aR,θb=bR,θc=cR{displaystyle theta _{a}={frac {a}{R}},theta _{b}={frac {b}{R}},theta _{c}={frac {c}{R}}} как:
- S=4R2arctgtg(θs2)tg(θs−θa2)tg(θs−θb2)tg(θs−θc2){displaystyle S=4R^{2},operatorname {arctg} {sqrt {operatorname {tg} left({frac {theta _{s}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{a}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{b}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{c}}{2}}right)}}} , где θs=θa+θb+θc2{displaystyle theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}} — полупериметр.
См. также
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- ↑ 1 2 Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка.
- ↑ Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html.
- ↑ Benyi, Arpad, «A Heron-type formula for the triangle,» Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324–326.
- ↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle,» Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
- ↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type area formula in terms of sines,» Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
- ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.
- ↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.
Литература
- Николаев Н. О площади треугольника (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки. |
В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки. Исправьте короткие примечания, установленные через шаблон .ts-templateCallCode-weak:first-child>.ts-templateCallCode-pipe:first-child{margin-left:0}.mw-parser-output .ts-templateCallCode-param+.ts-templateCallCode-closing{margin-left:2px}.mw-parser-output span.ts-templateCallCode>.ts-templateCallCode-templateName a{padding:0 0.5em!important;position:relative;margin:-0.5em}]]>{{sfn}} или его аналоги, в соответствии с инструкцией к шаблону, или добавьте недостающие публикации в раздел источников. Список сносок: |