Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
Определение
Пусть (Ω,F,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} — фиксированное вероятностное пространство. Пусть A,B∈F{displaystyle A,Bin {mathcal {F}}} суть два случайных события, причём P(B)>0{displaystyle mathbb {P} (B)>0}. Тогда условной вероятностью события A{displaystyle A} при условии события B{displaystyle B} называется
— фиксированное 
суть два 
. Тогда условной вероятностью события A{displaystyle A}
при условии события B{displaystyle B}
называется- P(A∣B)=P(A∩B)P(B){displaystyle mathbb {P} (Amid B)={frac {mathbb {P} (Acap B)}{mathbb {P} (B)}}}.
.Замечания
- Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
- P(A∩B)=P(A∣B)P(B){displaystyle mathbb {P} (Acap B)=mathbb {P} (Amid B)mathbb {P} (B)}.
.- Если P(B)=0{displaystyle mathbb {P} (B)=0}, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
- Условная вероятность является вероятностью, то есть функция Q:F→R{displaystyle mathbb {Q} :{mathcal {F}}to mathbb {R} }, заданная формулой
, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
, заданная формулой- Q(A)=P(A∣B),∀A∈F{displaystyle mathbb {Q} (A)=mathbb {P} (Amid B),;forall Ain {mathcal {F}}},
,удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.
Пример
Если A,B{displaystyle A,B} — несовместимые события, то есть A∩B=∅{displaystyle Acap B=varnothing } и P(A)>0,P(B)>0{displaystyle mathbb {P} (A)>0,;mathbb {P} (B)>0}, то
— 
и P(A)>0,P(B)>0{displaystyle mathbb {P} (A)>0,;mathbb {P} (B)>0}
, то- P(A∣B)=0{displaystyle mathbb {P} (Amid B)=0}
и
- P(B∣A)=0{displaystyle mathbb {P} (Bmid A)=0}.
.