Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как:
- tri(t)=∧(t)={1−|t|;|t|<10otherwise{displaystyle operatorname {tri} (t)=land (t)={begin{cases}1-|t|;&|t|<1\0&{mbox{otherwise}}end{cases}}}
или через свёртку двух единичных прямоугольных функций:
- tri(t)=rect(t)∗rect(t){displaystyle operatorname {tri} (t)=operatorname {rect} (t)*operatorname {rect} (t)}
Функция находит применение в обработке сигналов и радиосвязи, представляя собой идеализированный сигнал, являющийся составной частью более сложных реальных сигналов. Также применяется в широтно-импульсной модуляции для передачи и детектирования цифровых сигналов.
Преобразование Фурье треугольного импульса:
12π∫−∞∞tri(t)e−iωtdt{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{textrm {tri}}(t)e^{-iomega t},dt}=2π(sinc(ω2π)2π)2{displaystyle ={sqrt {2pi }}left({frac {{textrm {sinc}}({frac {omega }{2pi }})}{sqrt {2pi }}}right)^{2}}=12π⋅sinc2(ω2π){displaystyle ={frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot mathrm {sinc} ^{2}left({frac {omega }{2pi }}right)}
=2π(sinc(ω2π)2π)2{displaystyle ={sqrt {2pi }}left({frac {{textrm {sinc}}({frac {omega }{2pi }})}{sqrt {2pi }}}right)^{2}}
=12π⋅sinc2(ω2π){displaystyle ={frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot mathrm {sinc} ^{2}left({frac {omega }{2pi }}right)}
- ∫−∞∞tri(t)⋅e−i2πftdt = sinc2(f){displaystyle int _{-infty }^{infty }mathrm {tri} (t)cdot e^{-i2pi ft},dt = mathrm {sinc} ^{2}(f)}
Эти результаты следуют из преобразования Фурье прямоугольной функции и свойства свёртки преобразований Фурье двух сигналов.
См. также
| Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |
