У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения).
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Варианты определения
Существует и другое определение трапеции.
Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Приведённые ниже формулы верны для обоих определений трапеции.
Связанные определения
Элементы трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
- Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Виды трапеций
- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
- Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Общие свойства
Основной источник: [6]
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
- (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2xyx+y{displaystyle {frac {2xy}{x+y}}}среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
- Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
- Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
- Если отношение оснований равно K{displaystyle K} , то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно K2{displaystyle K^{2}} .
- Высота трапеции определяется формулой:
-
- h=c2−14(c2−d2b−a+b−a)2{displaystyle h={sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}left({frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-aright)^{2}}}}
- где b{displaystyle b} — большее основание, a{displaystyle a} — меньшее основание, c{displaystyle c} и d{displaystyle d} — боковые стороны.
- Диагонали трапеции d1{displaystyle d_{1}} и d2{displaystyle d_{2}} связаны со сторонами соотношением:
-
- d12+d22=2ab+c2+d2{displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}
- Их можно выразить в явном виде:
- d1=AC=ab+d2+b(c2−d2)b−a{displaystyle d_{1}=AC={sqrt {ab+d^{2}+{frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}
- d2=BD=ab+c2−b(c2−d2)b−a{displaystyle d_{2}=BD={sqrt {ab+c^{2}-{frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}
- Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
- a=(c2−d12)2−(d2−d22)22(c2−d2+d12−d22){displaystyle a={sqrt {frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}
- b=(c2−d22)2−(d2−d12)22(c2−d2−d12+d22){displaystyle b={sqrt {frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}
- а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
- c=a(d22−b2)+b(d12−a2)a+b{displaystyle c={sqrt {frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}
- d=a(d12−b2)+b(d22−a2)a+b{displaystyle d={sqrt {frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}
- Если же известна высота h{displaystyle h}
- d1=b2+d2−2bd2−h2=h2+(b−d2−h2)2{displaystyle d_{1}={sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={sqrt {h^{2}+left(b-{sqrt {d^{2}-h^{2}}}right)^{2}}}}
- d2=b2+c2−2bc2−h2=h2+(b−c2−h2)2{displaystyle d_{2}={sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={sqrt {h^{2}+left(b-{sqrt {c^{2}-h^{2}}}right)^{2}}}}
, то
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
- прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
- высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
- углы при любом основании равны;
- сумма противоположных углов равна 180°;
- длины диагоналей равны;
- вокруг этой трапеции можно описать окружность;
- вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.
Кроме того
- если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная и описанная окружность
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации.Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 6 июля 2015 года. |
- Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме бо
ковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований). - В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
- Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
- Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:[источник не указан 1857 дней]
-
- R=bcd14p(p−b)(p−c)(p−d1)=ab+c24−(b−ac)2{displaystyle R={frac {bcd_{1}}{4{sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={sqrt {frac {ab+c^{2}}{4-left({frac {b-a}{c}}right)^{2}}}}}
- где p=12(b+c+d1),c{displaystyle p={frac {1}{2}}(b+c+d_{1}),,,c} — боковая сторона, b{displaystyle b} — бо́льшее основание, a{displaystyle a} — меньшее основание, d1=d2{displaystyle d_{1}=d_{2}} — диагонали равнобедренной трапеции.
- Если a+b=2c{displaystyle a+b=2c} , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
-
- r=h2=ab2{displaystyle r={frac {h}{2}}={frac {sqrt {ab}}{2}}}
- Если в трапецию вписана окружность с радиусом r{displaystyle r} , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — v{displaystyle v} и w{displaystyle w} — то r=vw{displaystyle r={sqrt {vw}}} .
Площадь
- Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- В случае, если a{displaystyle a}площади: и b{displaystyle b} — основания и h{displaystyle h} — высота, формула
-
- S=(a+b)2h{displaystyle S={frac {(a+b)}{2}}h}
- В случае, если m{displaystyle m}
— высота, формула площади:
— средняя линия и h{displaystyle h}
-
- S=mh{displaystyle S=displaystyle mh}
Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
-
- m=(a+b)2{displaystyle m={frac {(a+b)}{2}}}
- Формула, где a<b{displaystyle a<b} — основания, c{displaystyle c} и d{displaystyle d} — боковые стороны трапеции:
-
- S=a+b4(b−a)(a+c+d−b)(a+d−b−c)(a+c−b−d)(b+c+d−a).{displaystyle S={frac {a+b}{4(b-a)}}{sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}
- или
- S=a+b2c2−14(c2−d2b−a+b−a)2{displaystyle S={frac {a+b}{2}}{sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}left({frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-aright)^{2}}}}
- Средняя линия m{displaystyle m}[7] разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как
-
- S1S2=3a+ba+3b{displaystyle {frac {S_{1}}{S_{2}}}={frac {3a+b}{a+3b}}}
- Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r{displaystyle r} , и углом при основании α{displaystyle alpha } :
-
- S=4r2sinα{displaystyle S={frac {4r^{2}}{sin {alpha }}}}
- Площадь равнобедренной трапеции:
-
- S=(b−ccosγ)csinγ=(a+ccosγ)csinγ{displaystyle S=(b-ccos {gamma })csin {gamma }=(a+ccos {gamma })csin {gamma }}
- где c{displaystyle c}[8]. — боковая сторона, b{displaystyle b} — бо́льшее основание, a{displaystyle a} — меньшее основание, γ{displaystyle gamma } — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной
- Площадь равнобедренной трапеции через её стороны
-
- S=a+b2c2−14(b−a)2{displaystyle S={frac {a+b}{2}}{sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}}
В родственных проектах
Примечания
- ↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 587.
- ↑ Вся элементарная математика
- ↑ Wolfram MathWorld
- ↑ Коллектив авторов. Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022.
- ↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489.
- ↑ Четырёхугольники.
- ↑ Сканави М.И. 202. Площадь трапеции // Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с.
- ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184