wiki

Теория категорий

Разделы:

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла применения в информатике [2], логике[3] и в теоретической физике [4][5]a:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}]]>[уточнить]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell [6].

Содержание

1 Определение
2 Основные определения и свойства
3 Функторы
4 Естественные преобразования
5 Некоторые типы категорий
6 См. также
7 Ссылки
8 Литература

Определение

Категория C{displaystyle {mathcal {C}}}

${mathcal {C}}$ — это:

класс объектов ObC{displaystyle Ob_{mathcal {C}}} $Ob_{{{mathcal {C}}}}$ ;
для каждой пары объектов A, B задано множество морфизмов (или стрелок) HomC(A,B){displaystyle mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(A,B)} ${mathrm {Hom}}_{{{mathcal {C}}}}(A,B)$ , причём каждому морфизму соответствуют единственные A и B;
для пары морфизмов f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)} $fin {mathrm {Hom}}(A,B)$ и g∈Hom(B,C){displaystyle gin mathrm {Hom} (B,C)} $gin {mathrm {Hom}}(B,C)$ определена композиция g∘f∈Hom(A,C){displaystyle gcirc fin mathrm {Hom} (A,C)} $gcirc fin {mathrm {Hom}}(A,C)$ ;
для каждого объекта A{displaystyle A} $A$ задан тождественный морфизм idA∈Hom(A,A){displaystyle id_{A}in mathrm {Hom} (A,A)} $id_{A}in {mathrm {Hom}}(A,A)$ ;

причём выполняются две аксиомы:

операция композиции ассоциативна: h∘(g∘f)=(h∘g)∘f{displaystyle hcirc (gcirc f)=(hcirc g)circ f} $hcirc (gcirc f)=(hcirc g)circ f$ и
тождественный морфизм действует тривиально: f∘idA=idB∘f=f{displaystyle fcirc id_{A}=id_{B}circ f=f} $fcirc id_{A}=id_{B}circ f=f$ для f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)} $fin {mathrm {Hom}}(A,B)$

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в к
оторых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность

Для категории C{displaystyle {mathcal {C}}}

${mathcal {C}}$ можно определить двойственную категорию Cop{displaystyle {mathcal {C}}^{op}} $\text{[math]}$ , в которой:

объекты совпадают с объектами исходной категории;
морфизмы получаются «обращением стрелок»: HomCop(B,A)≃HomC(A,B){displaystyle mathrm {Hom} _{{mathcal {C}}^{op}}(B,A)simeq mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(A,B)} ${mathrm {Hom}}_{{{mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)simeq {mathrm {Hom}}_{{{mathcal {C}}}}(A,B)$

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}

$fin {mathrm {Hom}}(A,B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g∈Hom(B,A){displaystyle gin mathrm {Hom} (B,A)} $gin {mathrm {Hom}}(B,A)$ , что g∘f=idA{displaystyle gcirc f=id_{A}} $gcirc f=id_{A}$ и f∘g=idB{displaystyle fcirc g=id_{B}} $fcirc g=id_{B}$ . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов End(A)=Hom(A,A){displaystyle mathrm {End} (A)=mathrm {Hom} (A,A)}

${mathrm {End}}(A)={mathrm {Hom}}(A,A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом idA{displaystyle id_{A}} $id_{A}$ .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов Aut(A){displaystyle mathrm {Aut} (A)}

${mathrm {Aut}}(A)$ по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}

$fin {mathrm {Hom}}(A,B)$ такой, что для любых g1,g2∈Hom(X,A){displaystyle g_{1},g_{2}in mathrm {Hom} (X,A)} $g_{1},g_{2}in {mathrm {Hom}}(X,A)$ из f∘g1=f∘g2{displaystyle fcirc g_{1}=fcirc g_{2}} $fcirc g_{1}=fcirc g_{2}$ следует, что g1=g2{displaystyle g_{1}=g_{2}} $g_{1}=g_{2}$ .Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}

$fin {mathrm {Hom}}(A,B)$ , что для любых g1,g2∈Hom(B,X){displaystyle g_{1},g_{2}in mathrm {Hom} (B,X)} $g_{1},g_{2}in {mathrm {Hom}}(B,X)$ из g1∘f=g2∘f{displaystyle g_{1}circ f=g_{2}circ f} $g_{1}circ f=g_{2}circ f$ следует g1=g2{displaystyle g_{1}=g_{2}} $g_{1}=g_{2}$ . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество ∅{displaystyle varnothing }

varnothing

, терминальным — любое множество из одного элемента {⋅}{displaystyle {cdot }}

{cdot }

Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение (пары) объектов A и B — это объект A×B{displaystyle Atimes B}

$Atimes B$ с морфизмами p1:A×B→A{displaystyle p_{1}:Atimes Bto A} $p_{1}:Atimes Bto A$ и p2:A×B→B{displaystyle p_{2}:Atimes Bto B} $p_{2}:Atimes Bto B$ такими, что для любого объекта C{displaystyle C} $C$ с морфизмами f1:C→A{displaystyle f_{1}:Cto A} $f_{1}:Cto A$ и f2:C→B{displaystyle f_{2}:Cto B} $f_{2}:Cto B$ существует единственный морфизм g:C→A×B{displaystyle g:Cto Atimes B} $g:Cto Atimes B$ такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы p1:A×B→A{displaystyle p_{1}:Atimes Bto A} $p_{1}:Atimes Bto A$ и p2:A×B→B{displaystyle p_{2}:Atimes Bto B} $p_{2}:Atimes Bto B$ называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение A+B{displaystyle A+B}

$A+B$ объектов A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ . Соответствующие морфизмы ıA:A→A+B{displaystyle imath _{A}:Ato A+B} $imath _{A}:Ato A+B$ и ıB:B→A+B{displaystyle imath _{B}:Bto A+B} $imath _{B}:Bto A+B$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств A×B{displaystyle Atimes B}

Atimes B

, а сумма — дизъюнктное объединение A⊔B{displaystyle Asqcup B}

A sqcup B

Пример: В категории Ring сумма — это тензорное произведение A⊗B{displaystyle Aotimes B}

Aotimes B

, а произведение — прямая сумма колец A⊕B{displaystyle Aoplus B}

Aoplus B

Пример: В категории VectK (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств A⊕B{displaystyle Aoplus B}

Aoplus B

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов ∏i∈IAi{displaystyle prod _{iin I}A_{i}}

$prod _{{iin I}}A_{i}$ . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения ∏i∈IVi{displaystyle prod _{iin I}V_{i}} $prod _{{iin I}}V_{i}$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов vi∈Vi{displaystyle v_{i}in V_{i}} $v_{i}in V_{i}$ , в то время как элементами бесконечного копроизведения ∐i∈IVi{displaystyle coprod _{iin I}V_{i}} $coprod _{{iin I}}V_{i}$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Основная статья: Функтор (математика)

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор F:C→D{displaystyle {mathcal {F}}:{mathcal {C}}to {mathcal {D}}}

${mathcal {F}}:{mathcal {C}}to {mathcal {D}}$ ставит в соответствие каждому объекту категории C{displaystyle {mathcal {C}}} ${mathcal {C}}$ объект категории D{displaystyle {mathcal {D}}} $mathcal{D}$ и каждому морфизму f:A→B{displaystyle f:Ato B} $f:Ato B$ морфизм F(f):F(A)→F(B){displaystyle F(f):F(A)to F(B)} $F(f):F(A)to F(B)$ так, что

F(idA)=idF(A){displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}} $F(id_{A})=id_{{F(A)}}$ и
F(g)∘F(f)=F(g∘f){displaystyle F(g)circ F(f)=F(gcirc f)} $F(g)circ F(f)=F(gcirc f)$ .

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из C{displaystyle {mathcal {C}}}

${mathcal {C}}$ в Dop{displaystyle {mathcal {D}}^{op}} ${mathcal {D}}^{{op}}$ (или из Cop{displaystyle {mathcal {C}}^{op}} ${mathcal {C}}^{{op}}$ в D{displaystyle {mathcal {D}}} ${displaystyle {mathcal {D}}}$ ), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму f:A→B{displaystyle f:Ato B} $f:Ato B$ он сопоставляет морфизм F(f):F(B)→F(A){displaystyle F(f):F(B)to F(A)} $F(f):F(B)to F(A)$ , соответственным образом обращается правило композиции: F(g)∘F(f)=F(f∘g){displaystyle F(g)circ F(f)=F(fcirc g)} $F(g)circ F(f)=F(fcirc g)$ .

Естественные преобразования

Основная статья: Естественное преобразование

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если F{displaystyle F}

$F$ и G{displaystyle G} $G$ — ковариантные функторы из категории C{displaystyle C} $C$ в D{displaystyle D} $D$ , то естественное преобразование η{displaystyle eta } $eta$ сопоставляет каждому объекту X{displaystyle X} $X$ категории C{displaystyle C} $C$ морфизм ηX:F(X)→G(X){displaystyle eta _{X}:F(X)to G(X)} $eta_X: F(X)to G(X)$ таким образом, что для любого морфизма f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} $f:Xto Y$ в категории C{displaystyle C} $C$ следующая диаграмма коммутативна:

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что ηX{displaystyle eta _{X}}

$eta _{X}$ — изоморфизм для любого X{displaystyle X} $X$ .

Некоторые типы категорий

См. также

Ссылки

↑ Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
↑ D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
↑ Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
↑ Нужна ли физикам теория категорий?. Оригинал http://arxiv.org/abs/0808.1032
↑ Топосы для физики. (англ.)
↑ Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 24 августа 2011 года.
↑ J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

«Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy

Литература

С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. 259 с.
Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.