Теорема Уитни о вложении утверждает что
Произвольное гладкое m{displaystyle m}многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в 2m{displaystyle 2m} -мерное евклидово пространство.Шаблон:/рамкаЭтот результат оптимален, например, если m{displaystyle m} — степень двойки, то m{displaystyle m} -мерное проективное пространствоневозможно вложить в (2m−1){displaystyle (2m-1)} -мерное евклидово пространство. -мерноеСодержаниеО доказательствеСлучаи m=1{displaystyle m=1}погружением с трансверсальными самопересечениями.Чтобы избавится от этих самопересечений, следует применить несколько раз трюк Уитни: и m=2{displaystyle m=2} «делаются руками».В случае m⩾3{displaystyle mgeqslant 3} легко видеть что гладкое отображение общего положения f:M→R2m{displaystyle fcolon Mto mathbb {R} ^{2m}} являетсяТрюк УитниПусть p∈R2m{displaystyle pin mathbb {R} ^{2m}} есть точка самопересечения и x,y∈M{displaystyle x,yin M} такие, что f(x)=f(y)=p{displaystyle f(x)=f(y)=p} .Соединим x{displaystyle x} и y{displaystyle y} гладкой кривой c:[0,1]→M.{displaystyle ccolon [0,1]to M.} Тогда f∘c{displaystyle fcirc c} есть замкнутая кривая в R2m{displaystyle mathbb {R} ^{2m}} .Построим отображение h:D2→R2m{displaystyle hcolon D^{2}to mathbb {R} ^{2m}} с границей f∘c{displaystyle fcirc c} .В общем положении, h{displaystyle h} является вложением (как раз здесь мы используем то, что m⩾3{displaystyle mgeqslant 3} ).Тогда можно продеформировать h{displaystyle h} в маленькой окрестности h(D2){displaystyle h(D^{2})} так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, как только представляешь эту картинку.Вариации и обобщенияПусть M{displaystyle M} есть гладкое m{displaystyle m} -мерное многообразие.
Литература
|