Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что
|
Если вещественная функция, непрерывная на отрезке [a;b]{displaystyle [a;b]} и дифференцируемая на интервале (a;b){displaystyle (a;b)}, принимает на концах отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]} одинаковые значения, то на интервале (a;b){displaystyle (a;b)} найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.Шаблон:/рамка Содержание
ДоказательствоЕсли функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала. Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по Лемме Ферма, в этой точке производная равна 0. Геометрический смысл теоремы Ролля. Геометрический смыслТеорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс. СледствиеЕсли дифференцируемая функция обращается в ноль в n{displaystyle n} Ещё одно следствиеДифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки. См. также
Примечания
ЛитератураФихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с. |
![[a;b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e776d74130a8890a814c1f4e74372a9110d2f9)
и 
, принимает на концах отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]}![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
одинаковые значения, то на интервале (a;b){displaystyle (a;b)}
различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в n−1{displaystyle n-1}
различных точках
