Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физическихявлений в пространственных областях, ограниченных сферическимиповерхностями и при решении физических задач, обладающихсферической симметрией.
Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.
Содержание
Определение
Вещественные сферические функции Ylm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Yl-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.
Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение Ylm(θ,φ){displaystyle Y_{lm}(theta ,varphi )}
ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:
). Они образуют- ⟨Ylm;Ylm⟩=∬|Ylm|2sinθdθdφ=1{displaystyle langle Y_{lm};Y_{lm}rangle =iint |Y_{lm}|^{2}sin {theta },dtheta ,dvarphi =1}
- ⟨Ylm;Yl′m′⟩=∫02π∫0πYl′m′∗Ylmsinθdθdφ=δll′δmm′{displaystyle langle Y_{lm};Y_{l’m’}rangle =int limits _{0}^{2pi }int limits _{0}^{pi }Y_{l’m’}^{*}Y_{lm}sin {theta },dtheta ,dvarphi =delta _{ll’}delta _{mm’}} ,
где * обозначает комплексное сопряжение, δll′{displaystyle delta _{ll’}}
—Сферические функции имеют вид
- Ylm=12πeimφΘlm(θ){displaystyle Y_{lm}={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{imvarphi }Theta _{lm}(theta )} ,
где функции Θlm(θ){displaystyle Theta _{lm}(theta )}
являются решениями уравнения
- 1sinθddθ(sinθdΘlmdθ)−m2sin2θΘlm+l(l+1)Θlm=0{displaystyle {frac {1}{sin {theta }}}{frac {d}{dtheta }}left(sin {theta }{frac {dTheta _{lm}}{dtheta }}right)-{frac {m^{2}}{sin ^{2}{theta }}}Theta _{lm}+l(l+1)Theta _{lm}=0}
и имеют вид
- Θlm=(−1)m2l+12(l−m)!(l+m)!Plm(cosθ){displaystyle Theta _{lm}=(-1)^{m}{sqrt {{frac {2l+1}{2}}{frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(cos theta )}
Здесь Plm(cosθ){displaystyle P_{l}^{m}(cos theta )}
многочлены Лежандра, а m!{displaystyle m!} — факториал.
— присоединённыеЛитература
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
См. также
Приложения
- SHTOOLS: Fortran 95 software archive
- HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
- SpherePack: Fortran 77 software archive
- SpharmonicKit: C software archive
- Frederik J Simons: Matlab software archive
- NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
- Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
- SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer
Ссылки
- Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
- Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
- An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
- Spherical harmonics entry at Citizendium
Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |