wiki

Симметризация Штайнера

Разделы:
- Круговой симметризации

Эту страницу в данный момент активно редактирует участник Тоша (обс.) 14:20, 7 июля 2018 (UTC).Пожалуйста, не вносите в неё никаких изменений до тех пор, пока не исчезнет это объявление.
В противном случае могут возникнуть конфликты редактирования.
Объявление размещено Тоша (обс.) 14:20, 7 июля 2018 (UTC) и не должно присутствовать на странице более двух суток. Для автоматического указания даты установки предупреждения используйте конструкцию .ts-templateCallCode-weak:first-child>.ts-templateCallCode-pipe:first-child{margin-left:0}.mw-parser-output .ts-templateCallCode-param+.ts-templateCallCode-closing{margin-left:2px}.mw-parser-output span.ts-templateCallCode>.ts-templateCallCode-templateName a{padding:0 0.5em!important;position:relative;margin:-0.5em}]]>{{subst:L}}

[[Категория:Википедия:Ошибка выражения: неожидаемый оператор <, редактируемые прямо сейчас]]

Симметризация Штейнера — построение определённого типа, дающее фигуру с зеркальноой симмтрией из произвольной фигуры.Это построение применяется при решении изопериметрической задачи,предложеном Якобом Штайнером в 1838.

На основе симметризации Штейнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.

Table of Contents

Симметризации штейнера

Симметризация Штейнера фигуры

Пусть H⊂Rn{displaystyle Hsubset mathbb {R} ^{n}}

${displaystyle Hsubset mathbb {R} ^{n}}$ есть гиперплоскость и Φ{displaystyle Phi } $Phi$ — данная фигура.

Введём ортогональную систему координат в которой H{displaystyle H}

$H$ описывается уравнением xn=0{displaystyle x_{n}=0} ${displaystyle x_{n}=0}$ .Для каждого x∈H{displaystyle xin H} $xin H$ , пусть ℓx{displaystyle ell _{x}} ${displaystyle ell _{x}}$ обозначает длину пересечения перпендикуляра к H{displaystyle H} ${displaystyle H}$ через x{displaystyle x} $x$ с множеством Φ{displaystyle Phi } $Phi$ .Далее проведём через x{displaystyle x} $x$ длины ℓx{displaystyle ell _{x}} ${displaystyle ell _{x}}$ с серединой в x{displaystyle x} $x$ и перпендикулярный к H{displaystyle H} $H$ .Объединение Φ∗{displaystyle Phi ^{*}} ${displaystyle Phi ^{*}}$ таких отрезков есть симметризация Штейнера Φ{displaystyle Phi } $Phi$ относительно H{displaystyle H} $H$ .

Свойства

Объём Φ∗{displaystyle Phi ^{*}} ${displaystyle Phi ^{*}}$ совпадает с объёмом Φ{displaystyle Phi } $Phi$ .
Площадь поверхности Φ∗{displaystyle Phi ^{*}} ${displaystyle Phi ^{*}}$ не превосходит площади поверхности Φ{displaystyle Phi } $Phi$ .
Если Φ{displaystyle Phi } $Phi$ выпукла, то то же верно и для Φ∗{displaystyle Phi ^{*}} ${displaystyle Phi ^{*}}$ .
Симметризация Штейнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть

dH(Φ,Ψ)≥dH(Φ∗,Ψ∗),{displaystyle d_{H}(Phi ,Psi )geq d_{H}(Phi ^{*},Psi ^{*}),} ${displaystyle d_{H}(Phi ,Psi )geq d_{H}(Phi ^{*},Psi ^{*}),}$

где Φ{displaystyle Phi }

Phi

и Ψ{displaystyle Psi }

Psi

— произвольные фигуры, Φ∗{displaystyle Phi ^{*}}

{displaystyle Phi ^{*}}

и Ψ∗{displaystyle Psi ^{*}}

{displaystyle Psi ^{*}}

— их симметризации относительно гиперплоскости H{displaystyle H}

H

, а dH{displaystyle d_{H}}

{displaystyle d_{H}}

— метрика Хаусдорфа.

Круговой симметризации

Круговой симметризации набор Омега

Популярный метод симметризации в плоскости круговой симметризации Полья,. После ее обобщения будут описаны в высших измерениях. Давайте {displaystyle } ${displaystyle }$ быть домена; затем его круговой симметризации {displaystyle } ${displaystyle }$ с учетом положительной вещественной оси определ�