wiki

Символ Кронекера

У этого термина существуют и другие значения, см. Символ Кронекера (значения).

Символ Кронекера (или дельта Кронекера) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае[1].

δij={1,i=j0,i≠j{displaystyle delta _{ij}=left{{begin{matrix}1,&i=j\0,&ineq jend{matrix}}right.}

Например, δ12=0 {displaystyle delta _{12}=0 }, но δ33=1 {displaystyle delta _{33}=1 }.

Содержание

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса (ei,ej)=δij{displaystyle (e_{i},e_{j})=delta _{ij}}

 , а также — в общем случае — для определения дуальных базисов (ei,fj)=δij{displaystyle (e_{i},f^{j})=delta _{i}^{j}}  где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: (δij)i,j=1n{displaystyle (delta _{ij})_{i,j=1}^{n}}  (элементы единичной матрицы записываются как δij {displaystyle delta _{ij} } ).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как тензор. В частности, могут использоваться различные написания δij,δji,δij{displaystyle delta _{ij},delta _{j}^{i},delta ^{ij}}

  для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров; соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой те
нзор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера! Иначе говоря, в общем случае δij,δji,δij{displaystyle delta _{ij},delta _{j}^{i},delta ^{ij}}  — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)[2].

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866[1].

Примечания

  1. ↑ 1 2 Символ Крокенера в БСЭ
  2. ↑ Последнее верно лишь для случая положительно определенных метрик, тогда как понятие ортонормированности базиса часто распространяют и на случай псевдоевклидовых пространств, что уже не имеет прямого отношения к символу Кронекера.

См. также

Читайте также