Серединный перпендикуляр

• Разделы:
  • Примечания

Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатриса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину.

Построение середины отрезка AB является одновременно построением серединного перпендикулярa

Свойства

• Херов перпендикуляр к сторонам треугольника (или другого описываемого окружностью многоугольника) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
• Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
• В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла с равными сторонами, совпадают и являются серединным перпендикуляром, проведенным к основанию треугольника, а два других серединных перпендикуляра равны между собой.
• Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него, можно найти по следующим формулам:[1]

pa=2aSa2+b2−c2,pb=2bSa2+b2−c2,pc=2cSa2−b2+c2,{displaystyle p_{a}={tfrac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},p_{b}={tfrac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},p_{c}={tfrac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},} 

где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр, S{displaystyle S}  — площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами a⩾b⩾c.{displaystyle ageqslant bgeqslant c.} 

• Если стороны треугольника удовлетворяют неравенствам a≥b≥c,{displaystyle ageq bgeq c,} , тогда справедливы неравенства[1]:

pa≥pb{displaystyle p_{a}geq p_{b}}  и pc≥pb.{displaystyle p_{c}geq p_{b}.}  Иными словами у треугольника наименьший серединный перпендикуляр относится к среднему отрезку.

Примечания

1. ↑ 1 2 Mitchell, Douglas W. Perpendicular Bisectors of Triangle Sides // Forum Geometricorum. — 2013. — Vol. 13. — P. 53-59, Theorems 2, 4.