Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.
Точнее: Пусть дано гладкое расслоение π:E→B{displaystyle pi :Eto B} , связность есть подрасслоение R{displaystyle R} касательного расслоения TE{displaystyle TE} над E{displaystyle E} , такое что для каждой точки x∈E{displaystyle xin E} проекция
- dxπ(Rx)=Tπ(x)B{displaystyle d_{x}pi (R_{x})=T_{pi (x)}B}
здесь dxπ{displaystyle d_{x}pi }дифференциал π{displaystyle pi } в точке x{displaystyle x} .
обозначаетСвязность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.
Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения.В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности.
Содержание
Примеры
- Связность Леви-Чивиты — аффинная связность, канонически определяемая метрическим
тензором.
Типы связностей
Аффинная связность
Аффинная связность на сфере — связь аффинных касательнных пространств в двух точках сферы.
Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.
Пусть M есть гладкое многообразие и C∞(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда, аффинная связность на M это билинейное отображение
- C∞(M,TM)×C∞(M,TM)→C∞(M,TM)(X,Y)↦∇XY,{displaystyle {begin{matrix}C^{infty }(M,TM)times C^{infty }(M,TM)&rightarrow &C^{infty }(M,TM)\(X,Y)&mapsto &nabla _{X}Y,end{matrix}}}
такое, что для любой гладкой функции f ∈ C∞(M,R) и любых вектроных полей X, Y на M:
- ∇fXY=f∇XY{displaystyle nabla _{fX}Y=fnabla _{X}Y} , то есть, ∇{displaystyle nabla } линейно по первому аргументу;
- ∇X(fY)=df(X)Y+f∇XY{displaystyle nabla _{X}(fY)=mathrm {d} f(X)Y+fnabla _{X}Y} , то есть ∇{displaystyle nabla } удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.
Связанные определения
- Кручением афинной связности называется вырожение
- U(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y]{displaystyle U(X,Y)=nabla _{X}Y-nabla _{Y}X-[X,Y]}
- здесь [∗,∗]{displaystyle [{*},{*}]}скобки Ли —
Связность Леви-Чивиты
Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии M{displaystyle M}
метрический тензор ковариантно постоянен.
, относительно которойТо есть аффинная связность ∇{displaystyle nabla }
на римановом многообразии (M,g){displaystyle (M,;g)} называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:
- (римановость) для любых векторных полей X{displaystyle X}
X(g(Y,Z))=g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ){displaystyle X(g(Y,;Z))=g(nabla _{X}Y,;Z)+g(Y,;nabla _{X}Z)} ,
где X(g(Y,Z)){displaystyle X(g(Y,;Z))} обозначает производную g(Y,Z){displaystyle g(Y,Z)} в направлении X{displaystyle X} .
, Y{displaystyle Y} , Z{displaystyle Z} верно - (отсутствие кручения) для любых векторных полей X{displaystyle X}
∇XY−∇YX−[X,Y]=0{displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X-[X,;Y]=0} ,
где [X,Y]{displaystyle [X,;Y]} скобки Ли векторных полей X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} .
и Y{displaystyle Y}
Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.
Связанные определения
- Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.
Свойства
- Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.
Это статья-заготовка по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив эту статью, как и любую другую в Википедии. Нажмите и узнайте подробности. |