Связность Леви-Чивита или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность на римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) M{displaystyle M}, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен и имеет нулевое кручение.
То есть аффинная связность ∇{displaystyle nabla } на римановом многообразии (M,g){displaystyle (M,;g)} называется связностью Леви-Чивита если для неё выполнены следующие два свойства:
- (римановость) для любых векторных полей X{displaystyle X}, Y{displaystyle Y}, Z{displaystyle Z} верно
X(g(Y,Z))=g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ){displaystyle X(g(Y,;Z))=g(nabla _{X}Y,;Z)+g(Y,;nabla _{X}Z)},
где X(g(Y,Z)){displaystyle X(g(Y,;Z))} обозначает производную g(Y,Z){displaystyle g(Y,Z)} в направлении X{displaystyle X}. - (отсутствие кручения) для любых векторных полей X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y}
∇XY−∇YX=[X,Y]{displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X=[X,;Y]},
где [X,Y]{displaystyle [X,;Y]} скобки Ли векторных полей X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y}.
Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивита.
Связанные определения
- Афинная связность для которой выполняется только условие римановости называется римановой связностью.
Свойства
- Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает ед
инственной связностью Леви-Чивита; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.