wiki

Расслоение Хопфа

В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

S1↪S3→ pS2.{displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}{xrightarrow { p,}}S^{2}.}

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы S3{displaystyle S^{3}} как единичной сферы в C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}}, а двумерной сферы S2{displaystyle S^{2}} как комплексной проективной прямой CP1{displaystyle mathbb {C} P^{1}}. Тогда отображение

p:(z1,z2)↦(z1:z2){displaystyle p:(z_{1},z_{2})mapsto (z_{1}:z_{2})}

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы S1{displaystyle S^{1}}:

θ:(z1,z2)↦(θz1,θz2),{displaystyle theta :(z_{1},z_{2})mapsto (theta z_{1},theta z_{2}),}

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

S1={θ∣θ∈C,|θ|=1}.{displaystyle S^{1}={theta mid theta in mathbb {C} ,,|theta |=1}.}

Обобщения

  • Совершенно аналогично, нечётномерная сфера S2n+1{displaystyle S^{2n+1}}  расслаивается со слоем-окружностью над CPn.{displaystyle mathbb {C} P^{n}.} 
  • Также (помимо вышеуказанной «комплексной»), существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:
S0↪S1→S1{displaystyle S^{0}hookrightarrow S^{1}rightarrow S^{1},}    (вещественная),
S1↪S3→S2{displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}rightarrow S^{2},}    (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
S3↪S7→S4{displaystyle S^{3}hookrightarrow S^{7}rightarrow S^{4},}    (кватернионная),
S7↪S15→S8{displaystyle S^{7}hookrightarrow S^{15}rightarrow S^{8},}    (октавная).

На самом деле, это все расслоения, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами.

Ссылки

См. также

  • Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
  • Унитарная_группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
  • Трехмерная сфера — в ней происходит расслоение Хопфа
  • Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]
  1. ↑ Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — P. 78.
  2. ↑ Д.Н. Клышко (1993). “Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах”. УФН. 163 (11): 1.
Читайте также