| Распределение Бернулли | |
|---|---|
| плотность вероятности Функция вероятности | |
| функния распределения Функция распределения | |
| Параметры | p∈(0,1){displaystyle pin (0,1),} q≡1−p{displaystyle qequiv 1-p,} |
| Носитель | k={0,1}{displaystyle k={0,1},} |
| Функция вероятности | qk=0p k=1{displaystyle {begin{matrix}q&k=0\p~~&k=1end{matrix}}} |
| Функция распределения | 0k<0q0<k<11k>1{displaystyle {begin{matrix}0&k<0\q&0<k<1\1&k>1end{matrix}}} |
| Математическое ожидание | p{displaystyle p,} |
| Мода | max(p,q){displaystyle {textrm {max}}(p,q),} |
| Дисперсия | pq{displaystyle pq,} |
| Коэффициент асимметрии | q−ppq{displaystyle {frac {q-p}{sqrt {pq}}}} |
| Коэффициент эксцесса | 6p2−6p+1p(1−p){displaystyle {frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}} |
| Дифференциальная энтропия | −qlnq−plnp{displaystyle -qln q-pln p,} |
| Производящая функция моментов | q+pet{displaystyle q+pe^{t},} |
| Характеристическая функция | q+peit{displaystyle q+pe^{it},} |
Распределе́ние Берну́лли моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.
Определение
Случайная величина X{displaystyle X} имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1{displaystyle 1} и 0{displaystyle 0} с вероятностями p{displaystyle p} и q≡1−p{displaystyle qequiv 1-p} соответственно. Таким образом:
имеет 
и 0{displaystyle 0}
с вероятностями p{displaystyle p}
и q≡1−p{displaystyle qequiv 1-p}
соответственно. Таким образом:- P(X=1)=p{displaystyle mathbb {P} (X=1)=p},
- P(X=0)=q{displaystyle mathbb {P} (X=0)=q}.
,
.Принято говорить, что событие {X=1}{displaystyle {X=1}} соответствует «успеху», а {X=0}{displaystyle {X=0}} «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.
соответствует «успеху», а {X=0}{displaystyle {X=0}}
«неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.Моменты распределения Бернулли
- E[X]=p{displaystyle mathbb {E} [X]=p},
- D[X]=pq{displaystyle operatorname {D} [X]=pq}.
![{mathbb {E}}[X]=p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bff53623cf28729d4da4500f0618fd24380b0b)
,![{displaystyle operatorname {D} [X]=pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24890e5296eec364d9ae6687c044c6a3f3cae2b7)
.Вообще, легко видеть, что
- E[Xn]=p,∀n∈N{displaystyle mathbb {E} left[X^{n}right]=p,;forall nin mathbb {N} }.
![{mathbb {E}}left[X^{n}right]=p,;forall nin {mathbb {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895d1bc7c847beabbe4b4593355c925d77bdbad2)
.Замечание
Если X1,…,Xn{displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} суть независимые случайные величины имеющие распределение Бернулли с вероятностью успеха p{displaystyle p}, то
суть - Y=∑i=1nXi{displaystyle Y=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}}
имеет биномиальное распределение с n{displaystyle n} степенями свободы.
степенями свободы.
