wiki

Размерность Лебега

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X{displaystyle X} обычно обозначается dim⁡X{displaystyle dim X}.

Содержание

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства X{displaystyle X}

  размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n{displaystyle n} , обладающее тем свойством, что при любом ε>0{displaystyle varepsilon >0}  существует конечное открытое ε{displaystyle varepsilon } —покрытие X{displaystyle X} , имеющее кратность ≤n+1{displaystyle leq n+1} ;

При этом

  • ε{displaystyle varepsilon } -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр <ε{displaystyle <varepsilon } , а
  • кратностью конечного покрытия пространства X{displaystyle X}  называется наибольшее такое целое число k{displaystyle k} , что существует точка пространства X{displaystyle X} , содержащаяся в k{displaystyle k}  элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X{displaystyle X}

  размерностью Лебега называется наименьшее целое число n{displaystyle n}  такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства X{displaystyle X}  существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности n+1{displaystyle n+1} .

При этом покрытие P{displaystyle {mathcal {P}}}

  называется вписанным в покрытие Q{displaystyle {mathcal {Q}}} , если каждый элемент покрытия P{displaystyle {mathcal {P}}}  является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия Q{displaystyle {mathcal {Q}}} .

Примеры

История

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность n{displaystyle n}

 -мерного куба равна n{displaystyle n} . Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта dim⁡X{displaystyle dim X}  (для класса метрических компактов) дал Урысон.

Литература

Читайте также