Радиус кривизны

Радиус кривизны — величина, обратная кривизне. Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой (поверхности) от прямой (плоскости). Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую. Радиус кривизны определяется для конкретной точки конкретной кривой.

2-мерный случай

Пусть кривая r→{displaystyle {vec {r}}}

  на плоскости задана параметрически:

r→(τ)=r→(x(τ),y(τ)){displaystyle {vec {r}}(tau )={vec {r}}(x(tau ),y(tau ))} 

Тогда радиус кривызны можно найти, воспользовавшись формулой:

s=R∗α{displaystyle s=R*alpha } 

ds2=dx2+dy2=((dxdτ)2+(dydτ)2)∗dτ2{displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=(({frac {dx}{dtau }})^{2}+({frac {dy}{dtau }})^{2})*dtau ^{2}} 

ds=r′∗dτ{displaystyle ds=rprime *dtau } 

|r→(τ)×r→(τ+dτ)|=r(τ)∗r(τ+dτ)∗sin(α){displaystyle |{vec {r}}(tau )times {vec {r}}(tau +dtau )|=r(tau )*r(tau +dtau )*sin(alpha )}