wiki

Равенство (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Равенство.

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 • × × × × × × × × ×
1 × • × × × × × × × ×
2 × × • × × × × × × ×
3 × × × • × × × × × ×
4 × × × × • × × × × ×
5 × × × × × • × × × ×
6 × × × × × × • × × ×
7 × × × × × × × • × ×
8 × × × × × × × × • ×
9 × × × × × × × × × •
Равенство десятичных цифр как бинарное отношение: •истина, ×ложь

Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.

Определения равенства

Равенство является интуитивно очевидным отношением: значение двух выражений одно и то же. При его формальном определении возникает разнобой.

Теория множеств, по определению, считает два объекта (то есть, два множества) равными, если они состоят из одних и тех же элементов:

A=B  ⇔  ∀x: (x∈A) ⇔ (x∈B){displaystyle A=B Leftrightarrow forall xcolon (xin A) Leftrightarrow (xin B)} 

В теориях с типизацией объектов отношение равенства имеет смысл лишь между элементами одного типа (попросту говоря, внутри определённого множества). Логицисты (сначала в логике предикатов Фреге, затем в рамках теории типов) опирались на определение равенства, похожее на теоретико-множественное, но рассматривающее отношения с другой стороны:

x=y  ⇔  ∀P: P(x) ⇔ P(y){displaystyle x=y Leftrightarrow forall Pcolon P(x) Leftrightarrow P(y)} 

То есть, для равенства двух объектов необходимо и достаточно, чтобы любой предикат, который может быть построен на данном типе, давал на ни
х одинаковое логическое значение. Впрочем, не логицисты это определение придумали — оно было известно ещё Лейбницу.

Некоторые формальные теории уклоняются от определения равенства, считая его изначально заданным отношением эквивалентности.

Связанные определения

Формальное определение и интуитивное понимание равенства иногда конфликтуют. Равно ли (целое) число 1 (действительному) числу e0{displaystyle e^{0}}

 ? С точки зрения интуиции — да, а с точки зрения теории типов вопрос неверно поставлен (ср. с проблемой приведения типов в программировании). В математике в подобных случаях подразумевается каноническое вложение одного множества (пространства, типа) в другое, большее. Вопрос о равенстве целого числа действительному можно понимать как равенство собственно действительного и другого действительного числа, соответствующего нашему целому. То есть, работа с интуитивно «очевидными» фактами типа всякое целое число является рациональным, а рациональное — действительным, требует в рамках некоторых формальных подходов специальных оговорок.

Уравнение — построенное при помощи равенства логическое высказывание, в которое входит переменная. Оно задаёт подмножество предметной области переменной — множество корней уравнения.

Определение величины или переменной записывается с помощью равенства: Пусть переменная равна выражению.

Тождество — высказывание, верное при любых значениях переменных. Оно часто (хотя вовсе не обязательно) строится на основе отношения равенства.

См. также

Читайте также