wiki

Правильный многоугольник

Разделы:

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	8
Символ Шлефли	{8}, t{4}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D5)
Площадь	2cot⁡π8a2{displaystyle 2cot {frac {pi }{8}}a^{2}} ${displaystyle 2cot {frac {pi }{8}}a^{2}}$ =2(1+2)a2≃4.828a2.{displaystyle =2(1+{sqrt {2}})a^{2}simeq 4.828,a^{2}.} ${displaystyle =2(1+{sqrt {2}})a^{2}simeq 4.828,a^{2}.}$
Внутренний угол	135°
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный [en], изотоксаль ный
Медиафайлы на Викискладе

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Table of Contents

Свойства

Координаты

Пусть xC{displaystyle x_{C}}

$x_{C}$ и yC{displaystyle y_{C}} $y_{C}$ — координаты центра, а R{displaystyle R} $R$ — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ0{displaystyle {phi }_{0}} ${phi }_{0}$ — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

xi=xC+Rcos⁡(ϕ0+2πin){displaystyle x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)}

x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)

yi=yC+Rsin⁡(ϕ0+2πin){displaystyle y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)}

y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)

где i=0…n−1{displaystyle i=0dots n-1}

$i=0dots n-1$

Размеры

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R{displaystyle R}

$R$ — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r=Rcos⁡πn{displaystyle r=Rcos {frac {pi }{n}}}