Полное метрическое пространство

Полное пространствометрическое пространство определённого типа.

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства.Для неполных пространств сущёствует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Содержание

Определения

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится.

Пополнение

Всякое метрическое пространство X=(X,ρ){displaystyle X=(X,rho )}

  можно вложить в полное пространство Y{displaystyle Y}  таким образом, что метрика Y{displaystyle Y}  продолжает метрику X{displaystyle X} , а подпространство X{displaystyle X}  всюду плотно в Y{displaystyle Y} . Такое пространство Y{displaystyle Y}  называется пополнением X{displaystyle X}  и обычно обозначается X¯{displaystyle {bar {X}}} .

Построение

Для метрического пространства X=(X,ρ){displaystyle X=(X,rho )}