Поле (алгебра)

• Разделы:
  • Формальные определения
  • Связанные определения
  • Свойства
  • Примеры полей
  • См. также
  • Примечания
  • Литература

У этого термина существуют и другие значения, см. Поле.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля[⇨].

Содержание

• 1 История
• 2 Формальные определения
• 3 Связанные определения
• 4 Свойства
• 5 Примеры полей
  • 5.1 Поля характеристики, равной 0
  • 5.2 Поля ненулевой характеристики
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Литература

История

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

Явное определение понятия поля относят к Дедекинду (1871 год), который использовал немецкий термин Körper (тело). Термин «поле» (англ. field) ввёл в 1893 году американский математик Элиаким Гастингс Мур[1].

Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формальные определения

Алгебра над множеством F{displaystyle F}

 , образующая коммутативную группу по сложению +{displaystyle +}  над F{displaystyle F}  с нейтральным элементом 0{displaystyle {boldsymbol {0}}}  и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами F∖{0}{displaystyle Fsetminus {{boldsymbol {0}}}} , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество F{displaystyle F}

  с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения +{displaystyle +}  и умножения ∗{displaystyle *}  (+:F×F→F,∗:F×F→F{displaystyle +colon Ftimes Fto F,quad *colon Ftimes Fto F} , т. е. ∀a,b∈F(a+b)∈F,a∗b∈F{displaystyle forall a,bin Fquad (a+b)in F,;a*bin F} ) называется полем ⟨F,+,∗⟩{displaystyle leftlangle F,+,*rightrangle } , если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: ∀a,b∈Fa+b=b+a{displaystyle forall a,bin Fquad a+b=b+a} .
2. Ассоциативность сложения: ∀a,b,c∈F(a+b)+c=a+(b+c){displaystyle forall a,b,cin Fquad (a+b)+c=a+(b+c)} .
3. Существование нулевого элемента: ∃0∈F:∀a∈Fa+0=0+a=a{displaystyle exists {boldsymbol {0}}in Fcolon forall ain Fquad a+{boldsymbol {0}}={boldsymbol {0}}+a=a} .
4. Существование противоположного элемента: ∀a∈F∃(−a)∈F:a+(−a)=0{displaystyle forall ain F;exists (-a)in Fcolon a+(-a)={boldsymbol {0}}} .
5. Коммутативность умножения: ∀a,b∈Fa∗b=b∗a{displaystyle forall a,bin Fquad a*b=b*a} .
6. Ассоциативность умножения: ∀a,b,c∈F(a∗b)∗c=a∗(b∗c){displaystyle forall a,b,cin Fquad (a*b)*c=a*(b*c)} .
7. Существование единичного элемента: ∃e∈F∖{0}:∀a∈Fa∗e=a{displaystyle exists ein Fsetminus {{boldsymbol {0}}}colon forall ain Fquad a*e=a} .
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: (∀a∈F:a≠0)∃a−1∈F:a∗a−1=e{displaystyle (forall ain Fcolon aneq {boldsymbol {0}});exists a^{-1}in Fcolon a*a^{-1}=e} .
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: ∀a,b,c∈F(a+b)∗c=(a∗c)+(b∗c){displaystyle forall a,b,cin Fquad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)} .

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению +{displaystyle +}

  над F{displaystyle F} , аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению ∗{displaystyle *}  над F∖{0}{displaystyle Fsetminus {{boldsymbol {0}}}} , а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1-7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.

Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение тела.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольца ⊃ Области целостности ⊃ Факториальные кольца ⊃ Области главных идеалов ⊃ Евклидовы кольца ⊃ Поля.

Связанные определения

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение f{displaystyle f}

 , такое что f(a+b)=f(a)+f(b){displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} , f(ab)=f(a)⋅f(b){displaystyle f(ab)=f(a)cdot f(b)}  и f(1)=1{displaystyle f(1)=1} . В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как f(a)⋅f(a−1)=f(a⋅a−1)=1{displaystyle f(a)cdot f(a^{-1})=f(acdot a^{-1})=1} , следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число n{displaystyle n}

  такое, что сумма n{displaystyle n}  копий единицы равна нулю:

1+⋯+1⏟n=n1=0.{displaystyle underbrace {1+dots +1} _{n}=n1=0.} 

Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

Свойства

• Характеристика поля всегда 0{displaystyle 0}  или простое число.
  • Поле характеристики 0{displaystyle 0}  содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q{displaystyle mathbb {Q} } .
  • Поле простой характеристики p{displaystyle p}  содержит подполе, изоморфное полю вычетов Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p}} .
• Количество элементов в конечном поле всегда равно pn{displaystyle p^{n}}  — степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида pn{displaystyle p^{n}}  существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из pn{displaystyle p^{n}}  элементов, обычно обозначаемое Fpn{displaystyle mathbb {F} _{p^{n}}} .
• В поле нет делителей нуля.
• Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля Fq{displaystyle mathbb {F} _{q}}  изоморфна Zq−1{displaystyle mathbb {Z} _{q-1}} .
• С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если к идеалу принадлежит нен
  улевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Примеры полей

Поля характеристики, равной 0

• Q{displaystyle mathbb {Q} }  — рациональные числа,
• R{displaystyle mathbb {R} }  — вещественные числа,
• C{displaystyle mathbb {C} }  — комплексные числа,
• A{displaystyle mathbb {A} }  — алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле C{displaystyle mathbb {C} } ).
• Числа вида a+b2{displaystyle a+b{sqrt {2}}} , a,b∈Q{displaystyle a,bin mathbb {Q} } , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в R{displaystyle mathbb {R} } .
• F(x){displaystyle mathbb {F} (x)}  — поле рациональных функций вида f(x)/g(x){displaystyle f(x)/g(x)} , где f{displaystyle f}  и g{displaystyle g}  — многочлены над некоторым полем F{displaystyle mathbb {F} }  (при этом g≠0{displaystyle gneq 0} , а f{displaystyle f}  и g{displaystyle g}  не имеют общих делителей, кроме констант).

Поля ненулевой характеристики

Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:

• Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p}}  — поле вычетов по модулю p{displaystyle p} , где p{displaystyle p}  — простое число.
• Fq{displaystyle mathbb {F} _{q}}  — конечное поле из q=pk{displaystyle q=p^{k}}  элементов, где p{displaystyle p}  — простое число, k{displaystyle k}  — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.

Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.

См. также

• Алгебраически замкнутое поле

Примечания

1. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)  (неопр.). Дата обращения: 28 сентября 2019.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы . — М.: Наука, 1965.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009 . — (Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 0-8218-4781-3.
• Galois, Évariste. Sur la théorie des nombres (неопр.) // Bulletin des Sciences mathématiques. — 1830. — Т. XIII. — С. 428.
• Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.