Показательная функция

• Разделы:
  • Комплексная функция
  • См. также
  • Литература

Показательная функция — математическая функция f(x)=ax{displaystyle f(x)=a^{x}}, где a{displaystyle a} называется основанием степени, а x{displaystyle x} — показателем степени.

• В вещественном случае основание степени a{displaystyle a} — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — uv{displaystyle u^{v}}, введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Содержание

• 1 Вещественная функция
  • 1.1 Определение показательной функции
  • 1.2 Свойства
  • 1.3 Асимптотика
• 2 Комплексная функция
• 3 См. также
• 4 Литература

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть a{displaystyle a}

  — неотрицательное вещественное число, x{displaystyle x}  — рациональное число: x=mn{displaystyle x={frac {m}{n}}} . Тогда ax{displaystyle a^{x}}  определяется по следующим правилам.

• Если x>0{displaystyle x>0} , то ax=amn{displaystyle a^{x}={sqrt[{n}]{a^{m}}}} .
• Если x=0{displaystyle x=0}  и a≠0{displaystyle aneq 0} , то ax=1{displaystyle a^{x}=1} .
  • Значение 00{displaystyle 0^{0}}  не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
• Если x<0{displaystyle x<0}  и a>0{displaystyle a>0} , то ax=1a|x|{displaystyle a^{x}={frac {1}{a^{|x|}}}} .
  • Значение ax{displaystyle a^{x}}  при x<0,a=0{displaystyle x<0,a=0}  не определено.

Для произвольного вещественного показателя x{displaystyle x}

  значение ax{displaystyle a^{x}}  можно определить как предел последовательности arn{displaystyle a^{r_{n}}} , где rn{displaystyle r_{n}}  — рациональные числа, сходящиеся к x{displaystyle x} . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

ex=limn→∞(1+xn)n.{displaystyle e^{x}=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}.} 

Свойства

  График экспоненты

Используя функцию натурального логарифма lnx{displaystyle ln ,x}

 , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

ax=ex⋅ln⁡a{displaystyle a^{x}=e^{xcdot ln a}} 

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

ddxax=(ln⁡a)ax.{displaystyle {d over dx}a^{x}=(ln a)a^{x}.} 

В частности:

ddxex=ex{displaystyle {d over dx}e^{x}=e^{x}} 

Доказательство

I. Докажем, что ddxex=ex{displaystyle {d over dx}e^{x}=e^{x}}

limΔx→0ex+Δx−exΔx=limΔx→0ex⋅(eΔx−1)Δx=ex⋅limΔx→0eΔx−1Δx=ex⋅1=ex{displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {e^{x+Delta x}-e^{x}}{Delta x}}=lim _{Delta xto 0}{frac {e^{x}cdot (e^{Delta x}-1)}{Delta x}}=e^{x}cdot lim _{Delta xto 0}{frac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}=e^{x}cdot 1=e^{x}}

 . Ч. т. д.

Докажем, что limΔx→0eΔx−1Δx=1{displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}=1}

 . Пусть eΔx−1=u{displaystyle e^{Delta x}-1=u} , тогда eΔx=u+1⇒Δx=ln⁡(u+1){displaystyle e^{Delta x}=u+1Rightarrow Delta x=ln(u+1)} . Если Δx→0{displaystyle Delta xto 0} , то u=eΔx−1→0{displaystyle u=e^{Delta x}-1to 0} 

limΔx→0eΔx−1Δx=limu→0uln⁡(u+1)=limu→011uln⁡(u+1)=limu→01ln⁡(u+1)1u=limu→01limu→0ln⁡(u+1)1u=1ln⁡limu→0(u+1)1u=1ln⁡e=1.{displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}=lim _{uto 0}{frac {u}{ln(u+1)}}=lim _{uto 0}{frac {1}{{frac {1}{u}}ln(u+1)}}=lim _{uto 0}{frac {1}{ln(u+1)^{frac {1}{u}}}}={frac {lim _{uto 0}1}{lim _{uto 0}ln(u+1)^{frac {1}{u}}}}={frac {1}{ln lim _{uto 0}(u+1)^{frac {1}{u}}}}={frac {1}{ln e}}=1.}

II. ddxax=ddx(eln⁡a)x=ddxex⋅ln⁡a=ex⋅ln⁡a⋅ln⁡a=ax⋅l
n⁡a{displaystyle {d over dx}a^{x}={d over dx}left(e^{ln a}right)^{x}={d over dx}e^{xcdot ln a}=e^{xcdot ln a}cdot ln a=a^{x}cdot ln a}

 Ч. т. д.

Разложение в ряд:

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} over n!}=1+x+{x^{2} over 2!}+{x^{3} over 3!}+{x^{4} over 4!}+cdots } .

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

limx→∞xnax=0{displaystyle lim limits _{xto infty }{frac {x^{n}}{a^{x}}}=0} 

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

ez=∑n=0∞znn!=1+z+z22!+z33!+z44!+⋯{displaystyle e^{z}=sum _{n=0}^{infty }{z^{n} over n!}=1+z+{z^{2} over 2!}+{z^{3} over 3!}+{z^{4} over 4!}+cdots } 

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для eix{displaystyle e^{ix}}

  вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

eix=cos⁡x+isin⁡x{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x} 

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

ez+2πi=ez{displaystyle e^{z+2pi i}=e^{z}} 

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ii=ei ln⁡(i){displaystyle i^{i}=e^{i~ln(i)}}

 ; поскольку ln⁡(i)=iπ2{displaystyle ln(i)=i{frac {pi }{2}}}  (главное значение логарифма), окончательно получаем: ii=eiiπ2=e−π2{displaystyle i^{i}=e^{i{frac {ipi }{2}}}=e^{-{frac {pi }{2}}}} .

См. также

• Возведение в степень
• Ограничение складывания бумаги пополам
• Степенная функция
• Экспонента

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.