Подмодуль

• Разделы:
  • Свойства
  • Литература

Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца.В частности, левый (правый) идеал кольца R{displaystyle R} является подмодулем левого (правого) R{displaystyle R}-модуля R{displaystyle R}.

Связанные определения

• Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
• Подмодуль называется больши́м (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
  • Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
• Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
• Подмодуль A{displaystyle A}  модуля B{displaystyle B}  называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля A′⊂B{displaystyle A’subset B}  равенство A+A′=B{displaystyle A+A’=B}  влечет A′=B{displaystyle A’=B} .
  • Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.

Свойства

• Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решёткой.
• Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
• Левый идеал I{displaystyle I}  принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда IM{displaystyle IM}  мал в M{displaystyle M}  для всякого конечно порождённого левого модуля M{displaystyle M} .
• Элементы малого подмодуля являются необразующими, то есть любая система образующих модуля остается таковой после удаления
  любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
• Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
• Если ϕ{displaystyle phi }  ― гомоморфизм модуля A{displaystyle A}  в модуль B{displaystyle B} , то множество
      ϕ−1(0)⊂A{displaystyle phi ^{-1}(0)subset A} 
  оказывается подмодулем модуля A{displaystyle A}  и называется ядром гомоморфизма ϕ{displaystyle phi } .
  • Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.

Литература

• Каш Ф. Модули и кольца, — пер. с нем., М., 1981;
• Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, — пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.