Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений
-
- {x1′=a1(x)…xn′=an(x),x∈U{displaystyle left{{begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\dots &&\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)end{matrix}}right.,quad xin U}
— дифференцируемая функция f:U→R{displaystyle f:Uto mathbb {R} }производная по направлению векторного поля A(x)=(a1(x),…,an(x)){displaystyle A(x)=(a_{1}(x),ldots ,a_{n}(x))}
, U⊆Rn{displaystyle Usubseteq mathbb {R} ^{n}} , такая, чтоеё-
- LAf=a1(x)∂f∂x1+⋯+an(x)∂f∂xn=0{displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){frac {partial f}{partial x_{1}}}+dots +a_{n}(x){frac {partial f}{partial x_{n}}}=0}
для всех x{displaystyle x}
из области U{displaystyle U} .Другими словами, функция f{displaystyle f} постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U{displaystyle U} .Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Пусть U{displaystyle U}
— область в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} , A(x)=(a1(x),…,an(x)){displaystyle A(x)=(a_{1}(x),ldots ,a_{n}(x))} — дифференцируемое векторное поле в U{displaystyle U} , x0∈U{displaystyle x_{0}in U} , A(x0)≠0{displaystyle A(x_{0})neq 0} . Тогда существует такая окрестность точки x0{displaystyle x_{0}} , что система дифференциальных уравнений-
- {x1′=a1(x)…xn′=an(x){displaystyle left{{begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\dots &&\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)end{matrix}}right.}
имеет в этой окрестности ровно n−1{displaystyle n-1}функционально независимых первых интегралов.
Примеры
Для уравнения x″+V(x)=0{displaystyle x»+V(x)=0}
относительно функции x(t){displaystyle x(t)} первым интегралом является функция E=12x′2+∫x0xV(z)dz{displaystyle E={frac {1}{2}}x’^{2}+int limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz} (полная энергия в физических приложениях).
Литература
- Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.
Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |