wiki

Ортогональный базис

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Содержание

Конечномерный случай

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

(ei,ej)=δij {displaystyle (e_{i},e_{j})=delta _{ij} } 

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (i≠j{displaystyle ineq j}

 ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в
разложении вектора по ортогональному базису:

 a=a1e1+a2e2+…+anen{displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {e_{1}} +a_{2}mathbf {e_{2}} +…+a_{n}mathbf {e_{n}} } 

можно найти так:

 ai=(a,ei)(ei,ei){displaystyle a_{i}={frac {(mathbf {a} ,mathbf {e_{i}} )}{(mathbf {e_{i}} ,mathbf {e_{i}} )}}} .

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора a{displaystyle mathbf {a} }

  квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

(a,a)=∑i(a,ei)2,{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=sum _{i}(mathbf {a} ,mathbf {e_{i}} )^{2},} 

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e1,e2,…,en,…{displaystyle e_{1},e_{2},…,e_{n},…}

  гильбертова пространства X{displaystyle X}  такая, что любой элемент x∈X{displaystyle xin X}  однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

x=∑n=1∞anen,{displaystyle x=sum _{n=1}^{infty }a_{n}e_{n},} 

называемого рядом Фурье элемента x{displaystyle x}

  по системе {en}{displaystyle {e_{n}}} .

Часто базис {en}{displaystyle {e_{n}}}

  выбирается так, что |en|=1{displaystyle |e_{n}|=1} , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа an{displaystyle a_{n}} , называются коэффициентами Фурье элемента x{displaystyle x}  по ортонормированному базису {en}{displaystyle {e_{n}}} , имеют вид

an=(x,en){displaystyle a_{n}=(x,e_{n})} .

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система {en}{displaystyle {e_{n}}}

  была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел {an}{displaystyle {a_{n}}}

  такая, что ∑n=1∞an2<∞{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}^{2}<infty } , то в случае гильбертова пространствас ортонормированным базисом {en}{displaystyle {e_{n}}}  ряд ∑n=1∞anen{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}e_{n}}  — сходится по норме к некоторому элементу x∈X{displaystyle xin X} .Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l2{displaystyle l_{2}}  (теорема Рисса — Фишера).

Примеры

  • Стандартный базис {e1=(1,0,…0)T,e2=(0,1,…0)T,en=(0,0,…1)T{displaystyle e_{1}=(1,0,ldots 0)^{mathrm {T} },e_{2}=(0,1,ldots 0)^{mathrm {T} },e_{n}=(0,0,ldots 1)^{mathrm {T} }} } в n-мерном евклидовом пространстве Rn
  • Множество

Литература

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

См. также

Читайте также