Ортогональная система координат

Ортогональными называються координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

ds2=∑k=1d(hkdqk)2{displaystyle ds^{2}=sum _{k=1}^{d}left(h_{k}dq^{k}right)^{2}}

где d

hk(q) =def gkk(q)=|ek|{displaystyle h_{k}(mathbf {q} ) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {g_{kk}(mathbf {q} )}}=|mathbf {e} _{k}|}

В ортогональных системах координат q = (q1, q2, …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат.Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, т.к. именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой виды. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т.д.Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Содержание

• 1 Математические преобразования
  • 1.1 Базисные векторы
  • 1.2 Скалярное произведение
  • 1.3 Векторное произведение

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

ei⋅ej=0,i≠j{displaystyle e_{i}cdot e_{j}=0,{begin{matrix}{}&ineq j\end{matrix}}}

 В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых ei(n)=ei|ei|{displaystyle e_{i}^{left(nright)}={frac {e_{i}}{left|e_{i}right|}}} 

Для нормированных базисных векторовei⋅ej=δij{displaystyle e_{i}cdot e_{j}=delta _{ij}}

 , где

δij{displaystyle delta _{ij}}

  – символ Кронекера.

Скалярное произведение

Векторное произведение