Абстра́ктная а́лгебра (также вы́сшая а́лгебра или о́бщая а́лгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.
Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от деталей, присущих определенному разделу математики, и выделения аксиоматических определений они становились предметом изучения абстрактной алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве других областей математики.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются
Все они возникли как результат обобщения свойств обычных операций умножения и сложения на числах.[источник не указан 4990 дней]
Более сложными примерами алгебраических структур являются
- кольца и поля
- модули и векторные пространства
- ассоциативные алгебры и алгебры Ли
- решётки и булевы алгебры
Группы и отображения между ними, называемые гомоморфизмами, изучаются в теории групп. Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.
Общие для всех этих алгебраических систем свойства собираются и изучаются теорией категорий. Эта теория доставляет формальные средства для сравнения алгебраических структур и изучения соответствий между ними.
Некоторые важные понятия
- полугруппа
- моноид
- группа
- подгруппа
- гомоморфизм
- действие группы
- прямое произведение групп
- нормальная подгруппа
- факторгруппа
- центр группы
- абелева группа
- разрешимая группа
- нильпотентная группа
- кольцо
- поле
- идеал
- алгебраическое расширение
- характеристика поля
- модуль над кольцом
- векторное пространство
- линейное отображение
- тензорное произведение
- циклическая группа
- конечная группа
- группа перестановок
- решётка
См. также
Литература
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3-х тт. — М.: Физматлит, 2001.
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
- ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1979.
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал, 2001. — 544 с.
- Винберг Э. Б. Начала алгебры. — М.: МЦНМО, МК НМУ, УРСС, 1998. — 192 с.
- Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 1. — М.: ИЛ, 1963. — 373 с.
- Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 2. — М.: ИЛ, 1963. — 438 с.
- Курош А. Г. Общая алгебра.
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
- Курош А. Г. Теория групп. 3-е изд. — М.: Физматлит, 1967.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — 416 с.
- Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. Т. 1. — М.: Мир, 1977. — 688 с.
- Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. Т. 2. — М.: Мир, 1979. — 464 с.
- Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. — Ижевск, 1999. — 348 с.
- Михалёв А. В., Михалёв A. A. Начала алгебры. — М.: Интернет ун-т инф. тех., 2005. — 144 с.
- Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. — М.: Физматлит, 1979. — 260 с.
- Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. — М.: Физматгиз, 1962. — 516 с.
- Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порождённые отображениями системы корней. — М.: Мир, 1972.
- Atiyah M. F., Macdonald I. G. Introduction to Commutative Algebra.
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972.
