Норма (математика)

• Разделы:
  • Свойства нормы
  • Примеры
  • Связанные понятия
  • См. также

У этого термина существуют и другие значения, см. норма.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Норма вектора
  • 1.2 Норма матрицы
  • 1.3 Норма оператора
• 2 Свойства нормы
  • 2.1 Эквивалентность норм
• 3 Примеры
  • 3.1 Линейные нормированные пространства
  • 3.2 Некоторые виды матричных норм
• 4 Связанные понятия
  • 4.1 Топология пространства и норма
• 5 См. также

Определение

Норма вектора

Основная статья: Нормированное пространство

Норма в векторном пространстве V {displaystyle V }

  над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал p:V→R{displaystyle pcolon Vto mathbb {R} } , обладающий следующими свойствами:

1. p(x)=0⇒x=0V;{displaystyle p(x)=0Rightarrow x=0_{V};
   } 
2. ∀x,y∈V,p(x+y)⩽p(x)+p(y){displaystyle forall x,yin V,p(x+y)leqslant p(x)+p(y)}  (неравенство треугольника);
3. ∀α∈C,∀x∈V,p(αx)=|α|p(x).{displaystyle forall alpha in mathbb {C} ,forall xin V,p(alpha ,x)=|alpha |p(x).} 

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1–3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

∀x∈V,p(x)⩾0{displaystyle forall xin V,p(x)geqslant 0}

 .

Действительно, из третьего свойства следует: p(0V)=p(0⋅0V)=0⋅p(0V)=0{displaystyle p(0_{V})=p(0cdot 0_{V})=0cdot p(0_{V})=0}

 , а из свойства 2 — ∀x∈V:0=p(0V)=p(x−x)⩽p(x)+p(−x)=2p(x){displaystyle forall xin Vcolon 0=p(0_{V})=p(x-x)leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)} .

Чаще всего норму обозначают в виде: ‖⋅‖{displaystyle |cdot |}

 . В частности, ‖x‖{displaystyle |x|}  — это норма элемента x{displaystyle x}  векторного пространства R{displaystyle mathbb {R} } .

Вектор с единичной нормой (‖x‖=1{displaystyle |x|=1}

 ) называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор x{displaystyle x}

  можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор x‖x‖{displaystyle {frac {x}{|x|}}}  имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы

Основная статья: Норма матрицы

Нормой матрицы A{displaystyle A}

  называется вещественное число ‖A‖{displaystyle |A|} , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. ‖A‖⩾0{displaystyle |A|geqslant 0} , причём ‖A‖=0{displaystyle |A|=0}  только при A=0 {displaystyle A=0 } ;
2. ‖αA‖=|α|⋅‖A‖{displaystyle |alpha A|=|alpha |cdot |A|} , где α∈R{displaystyle alpha in mathbb {R} } ;
3. ‖A+B‖⩽‖A‖+‖B‖{displaystyle |A+B|leqslant |A|+|B|} ;
4. ‖AB‖⩽‖A‖⋅‖B‖{displaystyle |AB|leqslant |A|cdot |B|} .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма ‖⋅‖ab{displaystyle |cdot |_{ab}}

  из Km×n{displaystyle K^{mtimes n}}  называется согласованной с векторной нормой ‖⋅‖a{displaystyle |cdot |_{a}}  из Kn{displaystyle K^{n}}  и векторной нормой ‖⋅‖b{displaystyle |cdot |_{b}}  из Km{displaystyle K^{m}}  если справедливо:

‖Ax‖b⩽‖A‖ab‖x‖a{displaystyle |Ax|_{b}leqslant |A|_{ab}|x|_{a}} 

для всех A∈Km×n,x∈Kn{displaystyle Ain K^{mtimes n},xin K^{n}}

 .

Норма оператора

Основная статья: Операторная норма

Норма оператора A{displaystyle A}

  — число, которое определяется, как:

‖A‖=sup‖x‖=1‖Ax‖{displaystyle |A|=sup _{|x|=1}|Ax|} ,

где A{displaystyle A}  — оператор, действующий из нормированного пространства L{displaystyle L}  в нормированное пространство K{displaystyle K} .

Это определение эквивалентно следующему:

‖A‖=supx≠0‖Ax‖‖x‖{displaystyle |A|=sup _{xneq 0}{frac {|
Ax|}{|x|}}} 

• Свойства операторных норм:

1. ‖A‖⩾0{displaystyle |A|geqslant 0} , причём ‖A‖=0{displaystyle |A|=0}  только при A=0{displaystyle A=0} ;
2. ‖αA‖=|α|⋅‖A‖{displaystyle |alpha A|=|alpha |cdot |A|} , где α∈R{displaystyle alpha in mathbb {R} } ;
3. ‖A+B‖⩽‖A‖+‖B‖{displaystyle |A+B|leqslant |A|+|B|} ;
4. ‖AB‖⩽‖A‖⋅‖B‖{displaystyle |AB|leqslant |A|cdot |B|} .

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормы

1. ∣‖x‖−‖y‖∣≤‖x±y‖≤‖x‖+‖y‖{displaystyle mid |x|-|y|mid leq |xpm y|leq |x|+|y|} 
2. (‖x‖−‖y‖)2≤‖x±y‖2≤(‖x‖+‖y‖)2{displaystyle (|x|-|y|)^{2}leq |xpm y|^{2}leq (|x|+|y|)^{2}} 
3. ‖x‖2+‖y‖2−‖x−y‖22‖x‖‖y‖∈[−1,1]{displaystyle {frac {|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}}{2|x||y|}}in [-1,1]}  [косинус угла]
4. ‖0V‖=‖x−x‖=‖0x‖=0⋅‖x‖=0{displaystyle |0_{V}|=|x-x|=|0x|=0cdot |x|=0} 
5. 0=‖x−x‖⩽‖x‖+‖−x‖=2‖x‖⇒‖x‖⩾0{displaystyle 0=|x-x|leqslant |x|+|-x|=2|x|Rightarrow |x|geqslant 0} 

Эквивалентность норм

• Две нормы p{displaystyle p}  и q{displaystyle q}  на пространстве V{displaystyle V}  называются эквивалентными, если существует две положительные константы C1{displaystyle C_{1}}  и C2{displaystyle C_{2}}  такие, что для любого x∈V{displaystyle xin V}  выполняется C1p(x)⩽q(x)⩽C2p(x){displaystyle C_{1}p(x)leqslant q(x)leqslant C_{2}p(x)} . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Примеры

Линейные нормированные пространства

• Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

‖x‖=⟨x,x⟩,x∈X.{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }},quad xin X.} 

• Гёльдеровы нормы n{displaystyle n} -мерных векторов (семейство): ‖x‖p=(∑i|xi|p)1p{displaystyle |x|_{p}=(sum _{i}|x_{i}|^{p})^{frac {1}{p}}} ,

где p⩾1{displaystyle pgeqslant 1}

  (обычно подразумевается, что это натуральное число).В частности:

• ‖x‖1=∑i|xi|{displaystyle |x|_{1}=sum _{i}|x_{i}|} 
• ‖x‖2=∑i|xi|2{displaystyle |x|_{2}={sqrt {sum _{i}|x_{i}|^{2}}}}  (евклидова норма),
• ‖x‖∞=max|xi|{displaystyle |x|_{infty }=max |x_{i}|}  (это предельный случай p→∞{displaystyle prightarrow infty } ).

• Нормы функций в C[0,1]{displaystyle C[0,1]}  — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
  • ‖f‖C[0,1]=supx∈[0,1]|f(x)|{displaystyle |f|_{C[0,1]}=sup _{xin [0,1]}|f(x)|}  — в смысле этой нормы пространство C[0,1]{displaystyle C[0,1]}  непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
  • ‖f‖=∫01|f(t)|dt{displaystyle |f|=int limits _{0}^{1}|f(t)|,dt} 
  • ‖f‖=∫01|f(t)|2dt{displaystyle |f|={sqrt {int limits _{0}^{1}|f(t)|^{2},dt}}} 

• Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив |f(x)| {displaystyle |f(x)| }  на ‖f(x)‖ {displaystyle |f(x)| } , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

Некоторые виды матричных норм

• Порожденные нормы ‖A‖p=sup‖x‖p=1‖Ax‖p{displaystyle |A|_{p}=sup _{|x|_{p}=1}|Ax|_{p}} :
  • p=1{displaystyle p=1} : m{displaystyle m} -норма, ‖A‖m=maxi∑j|aij|{displaystyle |A|_{m}=max _{i}sum _{j}|a_{ij}|} 
  • p=2{displaystyle p=2}  (евклидова норма) и m = n (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы A равна наибольшему сингулярному числу матрицы A или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы A†A{displaystyle A^{dagger }A} : ‖A‖2=λmax(A†A){displaystyle left|Aright|_{2}={sqrt {lambda _{text{max}}(A^{dagger }A)}}} , где A†{displaystyle A^{dagger }}  обозначает матрицу, сопряжённую к матрице A{displaystyle A} .
  • p=∞{displaystyle p=infty } : l{displaystyle l} -норма ‖A‖l=maxj∑i|aij|{displaystyle |A|_{l}=max _{j}sum _{i}|a_{ij}|} 

Здесь A†{displaystyle A^{dagger }}  — сопряжённая к A{displaystyle A}  матрица, Tr{displaystyle mathrm {Tr} }  — след матрицы.

• Поэлементная p{displaystyle p} -норма (p>0{displaystyle p>0} ): ‖A‖p=(∑i,j|aij|p)1/p{displaystyle |A|_{p}=left(sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}right)^{1/p}} 
  • Норма Фробениуса: ‖A‖2=∑i,j|aij|2=TrA†A{displaystyle |A|_{2}={sqrt {sum _{i,j}|a_{ij}|^{2}}}={sqrt {mathrm {Tr} ,A^{dagger }A}}} .

Связанные понятия

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B(x,r)={y:‖x−y‖<r}{displaystyle B(x,r)={ycolon |x-y|<r}}

 . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. также

• Полунорма
• Метрика
• Скалярное произведение