wiki

Линейная функция

y=kx+b{displaystyle y=kx+b}

y=kx+b

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Частный случай b=0{displaystyle ~b=0} $~b=0$ линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b≠0{displaystyle bneq 0} $bneq 0$ — неоднородных линейных функций.

Содержание

Свойства

k{displaystyle k} $k$ (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла α (α∈[0;π2)∪(π2;π)),{displaystyle alpha ~(alpha in [0;{frac {pi }{2}})cup ({frac {pi }{2}};pi )),} $alpha ~(alpha in [0;{frac {pi }{2}})cup ({frac {pi }{2}};pi )),$ который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.
При k>0{displaystyle k>0} $k>0$ , прямая образует острый угол с осью абсцисс.
При k<0{displaystyle k<0} $k<0$ , прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
При k=0{displaystyle k=0} $k=0$ , прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми , задаваемыми уравнениямиy=k1x+b1,{displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} $y=k_{1}x+b_{1},$ и y=k2x+b2,{displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} $y=k_{2}x+b_{2},$ определяется равенством:tgα=|k1−k21+k1k2|,{displaystyle mathrm {tg} ,alpha =left|{frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}right|,} ${mathrm {tg}},alpha =left|{frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}right|,$ где k1k2≠−1,{displaystyle k_{1}k_{2}neq -1,} $k_{1}k_{2}neq -1,$ т.е. прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k1=k2, α=0{displaystyle k_{1}=k_{2},~alpha =0} $k_{1}=k_{2},~alpha =0$ и прямые параллельны.

b{displaystyle b} $b$ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
При b=0{displaystyle b=0} $b=0$ , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n{displaystyle n} $n$ переменных x=(x1,x2,…,xn){displaystyle x=(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})} $x=(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})$ — функция вида

f(x)=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+dots +a_{n}x_{n}}

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+dots +a_{n}x_{n}

где a0,a1,a2,…,an{displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},dots ,a_{n}} $a_{0},a_{1},a_{2},dots ,a_{n}$ — некоторые фиксированные числа.Областью определения линейной функции является всё n{displaystyle n} $n$ -мерное пространство переменных x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}} $x_{1},x_{2},dots ,x_{n}$ вещественных или комплексных.При a0=0{displaystyle a_{0}=0} $a_{0}=0$ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}} $x_{1},x_{2},dots ,x_{n}$ и коэффициенты a0,a1,a2,…,an{displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},dots ,a_{n}} $a_{0},a_{1},a_{2},dots ,a_{n}$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1){displaystyle (n+1)} $(n+1)$ -мерном пространстве переменных x1,x2,…,xn,y{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n},y} $x_{1},x_{2},dots ,x_{n},y$ является n{displaystyle n} $n$ -мерная гиперплоскость

y=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+dots +a_{n}x_{n}}

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+dots +a_{n}x_{n}

в частности при n=1{displaystyle n=1} $n=1$ — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X{displaystyle X} $X$ над некоторым полем k{displaystyle k} $k$ в это поле, то есть для такого отображения f:X→k{displaystyle f:Xto k} $f:Xto k$ , что для любых элементов x,y∈X{displaystyle x,yin X} $x,yin X$ и любых α,β∈k{displaystyle alpha ,beta in k} $alpha ,beta in k$ справедливо равенство

f(αx+βy)=αf(x)+βf(y){displaystyle f(alpha x+beta y)=alpha f(x)+beta f(y)}

f(alpha x+beta y)=alpha f(x)+beta f(y)

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Основные статьи: Линейная булева функция, Полином Жегалкина и Критерий Поста

Булева функция f(x1,x2,…,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})} $f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})$ называется линейной, если существуют такие a0,a1,a2,…,an{displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},dots ,a_{n}} $a_{0},a_{1},a_{2},dots ,a_{n}$ , где ai∈{0,1},∀i=1,n¯{displaystyle a_{i}in {0,1},forall i={overline {1,n}}} $a_{i}in {0,1},forall i=overline {1,n}$ , что для любых x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}} $x_{1},x_{2},dots ,x_{n}$ имеет место равенство:

f(x1,x2,…,xn)=a0⊕a1⋅x1⊕a2⋅x2⊕⋯⊕an⋅xn{displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=a_{0}oplus a_{1}cdot x_{1}oplus a_{2}cdot x_{2}oplus dots oplus a_{n}cdot x_{n}}

f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=a_{0}oplus a_{1}cdot x_{1}oplus a_{2}cdot x_{2}oplus dots oplus a_{n}cdot x_{n}

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными (Нелинейным является любое уравнение, в которое хотя бы одно из неизвестных входит »’не в первой степени»’ (причём деление на переменную считается за переменную в минус первой, а не в первой степени). ), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а пото
м переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f=kx+b{displaystyle f=kx+b} $f=kx+b$ , где b≠0{displaystyle bneq 0} $bneq 0$ , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f(x1+x2)≠f(x1)+f(x2){displaystyle f(x_{1}+x_{2})neq f(x_{1})+f(x_{2})} $f(x_{1}+x_{2})neq f(x_{1})+f(x_{2})$ и f(cx)≠cf(x){displaystyle f(cx)neq cf(x)} $f(cx)neq cf(x)$ .Например, нелинейной зависимостью считают σ(τ){displaystyle sigma (tau )} $sigma (tau )$ для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.