В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.
Содержание
Пример
В R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}
векторы (1,0,0){displaystyle (1,0,0)} , (0,1,0){displaystyle (0,1,0)} и (0,0,1){displaystyle (0,0,1)} линейно независимы, так как уравнение
векторы (1,0,0){displaystyle (1,0,0)}
, (0,1,0){displaystyle (0,1,0)}
и (0,0,1){displaystyle (0,0,1)}
линейно независимы, так как уравнение- a1⋅(1,0,0)+a2⋅(0,1,0)+a3⋅(0,0,1)=(0,0,0)ai∈R{displaystyle a_{1}cdot (1,0,0)+a_{2}cdot (0,1,0)+a_{3}cdot (0,0,1)=(0,0,0)quad a_{i}in mathbb {R} }
имеет только одно решение.Векторы (1,0,0){displaystyle (1,0,0)}
и (5,0,0){displaystyle (5,0,0)} являются линейно зависимыми, так как
являются линейно зависимыми, так как- (1,0,0)⋅5=(5,0,0){displaystyle (1,0,0)cdot 5=(5,0,0)}
а значит
- −5⋅(1,0,0)+1⋅(5,0,0)=(0,0,0){displaystyle -5cdot (1,0,0)+1cdot (5,0,0)=(0,0,0)}
Определение
Пусть V{displaystyle V}
будет линейное пространство над полем K{displaystyle K} и M⊆V{displaystyle Msubseteq V} . M{displaystyle M} называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.
будет 
и M⊆V{displaystyle Msubseteq V}
. M{displaystyle M}
называется линейно независимым множеством, если любое его Конечное множество M′={v1,v2,…,vn}{displaystyle M’={v_{1},v_{2},…,v_{n}}}
называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:
называется линейно независимым, если единственная a1v1+a2v2+…+anvn=0⇒a1=a2=…=an=0{displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+…+a_{n}v_{n}=0quad Rightarrow quad a_{1}=a_{2}=…=a_{n}=0}
Если существует такая линейная комбинация с минимум одним ai≠0{displaystyle a_{i}neq 0}
, M′{displaystyle M’} называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается 0∈V{displaystyle 0in V} , а во втором 0∈K{displaystyle 0in K} .
, M′{displaystyle M’}
называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается 0∈V{displaystyle 0in V}
, а во втором 0∈K{displaystyle 0in K}
.Свойства
- 0∈M⇒M{displaystyle 0in MRightarrow M} линейно зависимо
- M{displaystyle M} линейно независимо ⇒{displaystyle Rightarrow } M′{displaystyle M’} линейно независимо для всех M′⊆M{displaystyle M’subseteq M}
- M{displaystyle M} линейно зависимо ⇒{displaystyle Rightarrow } M′{displaystyle M’} линейно зависимо для всех M′⊇M{displaystyle M’supseteq M}
линейно зависимо
M′{displaystyle M’}
Значение
- Линейные системы уравнений
Линейная система n{displaystyle n}
уравнений, где n{displaystyle n} — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.
уравнений, где n{displaystyle n}- Ранг матриц
Ра
нг матрицы равен числу её линейно независимых строк или столбцов.
- Геометрический смысл
- Векторы a→{displaystyle {vec {a}}} и b→{displaystyle {vec {b}}} линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).
- Векторы a→,b→,c→{displaystyle {vec {a}},;{vec {b}},;{vec {c}}} линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).
и b→{displaystyle {vec {b}}}
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они - Базис
Базис линейного пространства является в частности множеством линейно независимых векторов.
