wiki

Конформное отображение

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Содержание

Связанные определения

  • Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
  • Две метрики g,g~{displaystyle g,{tilde {g}}}  на гладком многообразии M{displaystyle M}  называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция ψ:M→R{displaystyle psi :Mto mathbb {R} }  такая что g~=eψg{displaystyle {tilde {g}}=e^{psi }g} . В этом случае тождественное отображение на M{displaystyle M}  индуцирует конформное отображение (M,g)→(M,g~){displaystyle (M,g)to (M,{tilde {g}})} .

Свойства

  Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

  • Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
  • Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
    • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
  • Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости допускает конформную биекцию на единичный диск.
  • Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}  при n≥3{displaystyle ngeq 3}  можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
  • Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если g~{displaystyle {tilde {g}}}  и g{displaystyle g}  — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
        W~(X,Y)Z=W(X,Y)Z,{displaystyle {tilde {W}}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,} 
    где W~{displaystyle {tilde {W}}}  и W{displaystyle W}  обозначают тензоры Вейля для g~{displaystyle {tilde {g}}}  и g{displaystyle g}  соответственно.
  • Для конформно-эквивалентых метрик g~=e2ψg{displaystyle {tilde {g}}=e^{2psi }g} 
    • Связности связаны следующей формулой:
         ∇~XY=∇XY+(Xψ)Y+(Yψ)X−g(X,Y)∇ψ){displaystyle {tilde {nabla }}_{X}Y=nabla _{X}Y+(Xpsi )Y+(Ypsi )X-g(X,Y)nabla psi )} 
    • Кривизны связаны следующей формулой:
          g(R~(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)−{displaystyle g({tilde {R}}(X,Y)Y,X)=g(R(
      X,Y)Y,X)-} 
          −Hessψ(X,X)−Hessψ(Y,Y)−|∇ψ|2+(Yψ)2{displaystyle -Hess_{psi }(X,X)-Hess_{psi }(Y,Y)-|nabla psi |^{2}+(Ypsi )^{2}} 
      если g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,Xψ=0{displaystyle g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,Xpsi =0}  а Hessψ{displaystyle Hess_{psi }}  обозначает Гессиан функции ψ{displaystyle psi } .
    • Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:
          K~X,Y=f2KX,Y−f⋅[Hessf(X,X)+Hessf(Y,Y)]−|∇f|2,{displaystyle {tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}K_{X,Y}-f{cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_{f}(Y,Y)]-|nabla f|^{2},} 
      где f=e−ψ{displaystyle f=e^{-psi }} .
    • При вычислении скалярной кривизны n{displaystyle n} -мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде g~=u4n−2g{displaystyle {tilde {g}}=u^{tfrac {4}{n-2}}g} . В этом случае:
      Sc~=(Sc−4(n−1)n−2Δu)/un+2n−2{displaystyle {tilde {Sc}}=left({Sc}-{frac {4(n-1)}{n-2}}Delta uright)/u^{frac {n+2}{n-2}}} 

Примеры

  Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

См. также

Ссылки

  1. ↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (нем.) // Archiv ftir Elektrotechnik. — 1923. — Bd. 12. — S. 1-15. — doi:10.1007/BF01656573.
Читайте также