wiki

Контактная структура

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности M2n+1{displaystyle M^{2n+1}}, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Содержание

Определение

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы λ{displaystyle lambda }

 , что

λ∧(dλ)n≠0{displaystyle lambda wedge (dlambda )^{n}neq 0} 

λ{displaystyle lambda }

  называется контактной формой.Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле Y{displaystyle Y}  на M2n+1{displaystyle M^{2n+1}}  такое, что

λ(Y)=1{displaystyle lambda (Y)=1} 
dλ(Y,X)=0{displaystyle dlambda (Y,X)=0} 

для любого векторного поля X{displaystyle X}

 .

Свойства

  • Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
  • На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

Симплектизация и контактизация

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Почти контактная структура

Пусть M2n+1{displaystyle M^{2n+1}}

  — нечётномерное гладкое многообразие dim⁡M=2n+1{displaystyle dim M=2n+1} .

Почти контактной структурой на многообразии M{displaystyle M}

  называется тройка (η,ξ,Φ){displaystyle (eta ,xi ,Phi )}  тензорных полей на этом многообразии, где η{displaystyle eta }  — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, ξ{displaystyle xi }  — векторное поле, называемое характеристическим, Φ{displaystyle Phi }  — эндоморфизм TM{displaystyle TM} , называемый структурным эндоморфизмом. При этом

  1. η(ξ)=1{displaystyle eta (xi )=1} 
  2. η∘Φ=0{displaystyle eta circ Phi =0} 
  3. Φ(ξ)=0{displaystyle Phi (xi )=0} 
  4. Φ2=−id+η⊗ξ{displaystyle Phi ^{2}=-id+eta otimes xi } 

Если, кроме того, на M{displaystyle M}

  фиксирована риманова структура g=⟨⋅,⋅⟩{displaystyle g=langle cdot ,cdot rangle } , такая что

⟨ΦX,ΦY⟩=⟨X,Y⟩−η(X)η(Y){displaystyle langle Phi X,Phi Yrangle =langle X,Yrangle -eta (X)eta (Y)}

 

четвёрка (η,ξ,Φ,g){displaystyle (eta ,xi ,Phi ,g)}

  называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.
Читайте также