Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях.Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.
Ковариантная производная тензорного поля T{displaystyle T}касательного вектора v{displaystyle {mathbf {v} }} обычно обозначается ∇vT{displaystyle nabla _{mathbf {v} }T} .
в направленииСодержание
Формальное определение
Скалярные функции
Для скалярной функции f{displaystyle f}
производной функции по направлению векторного поля v{displaystyle mathbf {v} } .
ковариантная производная ∇vf{displaystyle {nabla }_{mathbf {v} }f} совпадает с обычнойВекторные поля
Ковариантная производная ∇{displaystyle nabla }
по направлению векторного поля v{displaystyle {mathbf {v} }} , обозначаемая ∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} определяется по следующим свойствам, для любого вектора v{displaystyle mathbf {v} } , векторных полей u{displaystyle mathbf {u} } , w{displaystyle mathbf {w} } и скалярных функций f{displaystyle f} и g{displaystyle g} :
- ∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} линейно по отношению к v{displaystyle {mathbf {v} }} , то есть ∇fv+gwu=f∇vu+g∇wu{displaystyle nabla _{f{mathbf {v} }+g{mathbf {w} }}{mathbf {u} }=fnabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+gnabla _{mathbf {w} }{mathbf {u} }}
- ∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} аддитивно относительно u{displaystyle {mathbf {u} }} , то есть ∇v(u+w)=∇vu+∇vw{displaystyle nabla _{mathbf {v} }({mathbf {u} }+{mathbf {w} })=nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+nabla _{mathbf {v} }{mathbf {w} }}
- ∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }}правилу произведения, то есть ∇vfu=f∇vu+u∇vf{displaystyle nabla _{mathbf {v} }f{mathbf {u} }=fnabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+{mathbf {u} }nabla _{mathbf {v} }f} , где ∇vf{displaystyle nabla _{mathbf {v} }f} определено выше. подчиняется
Замечание
Заметим, что ∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }}
тензором (несмотря на то, что его значение
на каждом тензорном поле тензором является).
Ковекторные поля
Если задано поле ковекторов (т. е. один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) α{displaystyle alpha }
, его ковариантная производная ∇vα{displaystyle nabla _{mathbf {v} }alpha } может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей u{displaystyle mathbf {u} }
- ∇v(α(u))=(∇vα)(u)+α(∇vu).{displaystyle nabla _{mathbf {v} }(alpha ({mathbf {u} }))=(nabla _{mathbf {v} }alpha )({mathbf {u} })+alpha (nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }).}
Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля v{displaystyle mathbf {v} }
— тоже ковекторное поле.
Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.
Тензорные поля
Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница (φ{displaystyle varphi }
и ψ{displaystyle {psi }} — произвольные тензоры):
- ∇v(φ⊗ψ)=(∇vφ)⊗ψ+φ⊗(∇vψ),{displaystyle nabla _{mathbf {v} }(varphi otimes psi )=(nabla _{mathbf {v} }varphi )otimes psi +varphi otimes (nabla _{mathbf {v} }psi ),}
Если φ{displaystyle varphi }
и ψ{displaystyle psi } — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:
- ∇v(φ+ψ)=∇vφ+∇vψ.{displaystyle nabla _{mathbf {v} }(varphi +psi )=nabla _{mathbf {v} }varphi +nabla _{mathbf {v} }psi .}
Выражение в координатах
Пусть тензорное поле типа (p,q){displaystyle (p,q)}
дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производна
я тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q+1){displaystyle (p,q+1)} , который определяется по формуле:
∇ℓTi1i2…ipj1j2…jq=∂Ti1i2…ipj1j2…jq∂xℓ+∑k=1pTi1…ik…ipj1j2…jqΓikℓk−∑m=1qTi1i2…ipj1…jm…jqΓmℓjm{displaystyle nabla _{ell }{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}={frac {partial {T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}}{partial x^{ell }}}+sum _{k=1}^{p}{T^{i_{1}ldots i_{k}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}Gamma ^{i_{k}}{}_{ell k}-sum _{m=1}^{q}{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}ldots j_{m}ldots j_{q}}Gamma ^{m}{}_{ell j_{m}}}
где Γkij{displaystyle Gamma ^{k}{}_{ij}}
символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.
—Примеры для некоторых типов тензорных полей
Ковариантная производная векторного поля Vm {displaystyle V^{m} }
имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,
- ∇ℓVm=∂Vm∂xℓ+ΓmkℓVk. {displaystyle nabla _{ell }V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{m}{}_{kell }V^{k}. }
Ковариантная производная скалярного поля φ {displaystyle varphi }
совпадает с частной производной,
- ∇iφ=∂φ∂xi {displaystyle nabla _{i}varphi ={frac {partial varphi }{partial x^{i}}} }
а ковариантная производная ковекторного поля ωm {displaystyle omega _{m} }
—
- ∇ℓωm=∂ωm∂xℓ−Γkℓmωk. {displaystyle nabla _{ell }omega _{m}={frac {partial omega _{m}}{partial x^{ell }}}-Gamma ^{k}{}_{ell m}omega _{k}. }
В пространстве без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:
- ∇i∇jφ=∇j∇iφ {displaystyle nabla _{i}nabla _{j}varphi =nabla _{j}nabla _{i}varphi }
В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).
Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0){displaystyle (2,0)}
Aik {displaystyle A^{ik} } равна
- ∇ℓAik=∂Aik∂xℓ+ΓimℓAmk+ΓkmℓAim, {displaystyle nabla _{ell }A^{ik}={frac {partial A^{ik}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{i}{}_{mell }A^{mk}+Gamma ^{k}{}_{mell }A^{im}, }
то есть
- Aik;ℓ=Aik,ℓ+AmkΓimℓ+AimΓkmℓ. {displaystyle A^{ik}{}_{;ell }=A^{ik}{}_{,ell }+A^{mk}Gamma ^{i}{}_{mell }+A^{im}Gamma ^{k}{}_{mell }. }
Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна
- Aik;ℓ=Aik,ℓ+AmkΓimℓ−AimΓmkℓ, {displaystyle A^{i}{}_{k;ell }=A^{i}{}_{k,ell }+A^{m}{}_{k}Gamma ^{i}{}_{mell }-A^{i}{}_{m}Gamma ^{m}{}_{kell }, }
наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2){displaystyle (0,2)}
,
- Aik;ℓ=Aik,ℓ−AmkΓmiℓ−AimΓmkℓ. {displaystyle A_{ik;ell }=A_{ik,ell }-A_{mk}Gamma ^{m}{}_{iell }-A_{im}Gamma ^{m}{}_{kell }. }
См. также
- Тензор кривизны
- Связность Леви-Чивиты
- Символы Кристоффеля
- Оператор набла в различных системах координат
Литература
- Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.