wiki

Касательное расслоение

Касательное расслоение гладкого многообразия M{displaystyle M} — есть векторное расслоение над M{displaystyle M}, слой которого в точке x∈M{displaystyle xin M} является касательным пространством TxM{displaystyle T_{x}M} в точке x{displaystyle x}.Касательное расслоение обычно обозначается TM{displaystyle TM}.

Неформально, касательное расслоение многообразия (в данном случае круга) получается при рассмотрении всех касательных пространств (сверху) и объединении их гладко без пересечений (снизу)

Элемент тотального пространства TM{displaystyle TM} — это пара (x,v){displaystyle (x,;v)}, где x∈M{displaystyle xin M} и v∈TxM{displaystyle vin T_{x}M}.Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие.Размерность TM{displaystyle TM} равна удвоенной размерности M{displaystyle M}.

Содержание

Топология и гладкая структура

Если M{displaystyle M}

  — n{displaystyle n} -мерное многообразие, то оно обладает атласом карт (Uα,φα){displaystyle (U_{alpha },;varphi _{alpha })} , где Uα{displaystyle U_{alpha }}  — открытое подмножество M{displaystyle M}  и

φα:Uα→Rn{displaystyle varphi _{alpha }colon U_{alpha }to mathbb {R} ^{n}} 

— гомеоморфизм.Эти локальные координаты на U{displaystyle U}

  порождают изоморфизм между TxM{displaystyle T_{x}M}  и Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}  для любого x∈U{displaystyle xin U} .Можно определить отображение

φ~α:π−1(Uα)→R2n{displaystyle {tilde {varphi }}_{alpha }colon pi ^{-1}(U_{alpha })to mathbb {R} ^{2n}} 

как

φ~α(x,vi∂i)=(φα(x),v1,…,vn){displaystyle {tilde {varphi }}_{alpha }(x,;v^{i}partial _{i})=(varphi _{alpha }(x),;v^{1},;ldots ,;v^{n})} 

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на TM{displaystyle TM}

 .

Подмножество A{displaystyle A}

  из TM{displaystyle TM}  отк
рыто тогда и только тогда, когда φ~α(A∩π−1(Uα)){displaystyle {tilde {varphi }}_{alpha }(Acap pi ^{-1}(U_{alpha }))}  — открытое в R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}}  для любого α{displaystyle alpha } . Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств TM{displaystyle TM}  и R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}} , поэтому они образуют карты гладкой структуры на TM{displaystyle TM} . Функции перехода на пересечениях карт π−1(Uα∩Uβ){displaystyle pi ^{-1}(U_{alpha }cap U_{beta })}  задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}} .

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением.Касательное расслоение n{displaystyle n}

 -мерного многообразия M{displaystyle M}  можно определить как векторное расслоение ранга n{displaystyle n}  над M{displaystyle M} , функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры

  • Простейший пример получается для Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} . В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции R2n→Rn{displaystyle mathbb {R} ^{2n}to mathbb {R} ^{n}} .
  • Единичная окружность S1{displaystyle S^{1}} . Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно S1×R{displaystyle S^{1}times mathbb {R} } . Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
  • Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере S2{displaystyle S^{2}}  это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причесывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой R{displaystyle R}

  и единичной окружности S1{displaystyle S^{1}} , которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-хмерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поля

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии M{displaystyle M}

 , значение которой в каждой точке — касательный к M{displaystyle M}  вектор, то есть гладкое отображение

V:M→TM{displaystyle Vcolon Mto TM} 

такое что образ x{displaystyle x}

 , обозначаемый Vx{displaystyle V_{x}} , лежит в TxM{displaystyle T_{x}M} , касательном пространстве в точке x{displaystyle x} . На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением.Векторное поле на M{displaystyle M}  — это сечение касательного расслоения над M{displaystyle M} .

Множество всех векторных полей над M{displaystyle M}

  обозначается Γ(TM){displaystyle Gamma (TM)} . Векторные поля можно складывать поточечно

(V+W)x=Vx+Wx{displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}} 

и умножать на гладкие функции на M{displaystyle M}

 

(fV)x=f(x)Vx{displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}} 

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей Γ(TM){displaystyle Gamma (TM)}

  получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких
функций на M{displaystyle M}  (обозначается C∞(M){displaystyle C^{infty }(M)} ).

Если f{displaystyle f}

  есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля X{displaystyle X}  даёт новую глядкую функцию Xf{displaystyle Xf} .Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

  • Аддитивность: X(f+h)=Xf+Xh{displaystyle X(f+h)=Xf+Xh} 
  • Правило Лейбница: X(fh)=(Xf)⋅h+f⋅(Xh).{displaystyle X(fh)=(Xf)cdot h+fcdot (Xh).} 

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на M{displaystyle M}

  — это локальная сечение касательного расслоения.Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве U{displaystyle U}  из M{displaystyle M} , при этом в каждой точке из U{displaystyle U}  задается вектор из соответствующего касательного пространства.Множество локальных векторных полей на M{displaystyle M}  образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над M{displaystyle M} .

Каноническое векторное поле на TM{displaystyle TM}

На каждом касательном расслоении TM{displaystyle TM}

  можно определить каноническое векторное поле. Если (x,y){displaystyle (x,;y)}  — локальные координаты на TM{displaystyle TM} , то векторное поле имеет вид

V=yi∂∂yi|(x,y).{displaystyle V=left.y^{i}{frac {partial }{partial y^{i}}}right|_{(x,;y)}.} 

V{displaystyle V}

  является отображением V:TM→TTM{displaystyle Vcolon TMto TTM} .

Существование такого векторного поля на TM{displaystyle TM}

  можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

См. также

Ссылки

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
  • Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.
Читайте также