| Содержимое этой статьи нуждается в чистке. Текст содержит много маловажных, неэнциклопедичных или устаревших подробностей. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. |
Интегральное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений.
Длины, площади и объёмы
В сочинении Архимеда «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» — о поверхностях и объёмах тел, ограниченных кривыми поверхностями; эти вопросы представляют первые геометрические задачи, относящиеся к И. исчислению. И в настоящее время основной задачей И. исчисления является нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной фигуры S (черт. 1) разумеется предел, к которому стремится площадь вписанного в фигуру многоугольника по мере увеличения числа его сторон, причём эти стороны могут быть сделаны меньше всякого заранее заданного произвольно малого числа.
Основная идея вычисления площади произвольных геометрических фигур состоит в следующем. Для начала, как посчитать площадь прямоугольника, то есть как доказать, что его площадь — это произведение длины на ширину. Если речь идёт о геометрии, где все построения нужно делать с помощью циркуля и линейки, то в такой геометрии, отношение длины к ширине есть число рациональное(см. Учебник Погорелова), то есть если длину принять за единицу, то ширина может быть выражена в качестве дроби m/n, где m и n натуральные числа. Для такого прямоугольника можно подобрать такой «единичный квадратик», который полностью покроет такой прямоугольник. Сторону «единичный квадратик» можно подобрать как d=НОД(m, n), где d натуральное число. Например, если мы имеем прямоугольник длиной 10 см и шириной 14 см, то такой прямоугольник может быть построен при помощь циркуля и линейки (если длину принять за единицы, его ширина будет 14/10=7/5).В качестве стороны «единичного квадратика» можно взять d=НОД(14,10)=2 см. Этот квадратик войдёт 5 раз в длину и 7 в ширину, всего нужно 5*7=35 таких «единичных квадратиков». Можно взять квадраты со стороной 1 см. Этот квадратик войдёт 10 раз в длину и 14 в ширину, всего нужно 10*14=140 таких «единичных квадратиков». Из этого построения видно, что размерность (см.) не играет никакой существенной роли при таком построении.
Площадь прямоугольного треугольника можно посчитать если заметить, что если отложить точно такой же треугольник рядом, то получится прямоугольник. Так как мы удвоили площадь треугольника, то площадь треугольника является половиной площади прямоугольника. Площадь параллелограмма определяется аналогичным, чуть более сложным образом, через площади прямоугольника и треугольника. Площадь многоугольников определяется при помощи площади треугольников.
Как определить площадь произвольной кривой? Например, кривой, являющиеся непрерывной функцией ограниченная прямыми x=a и x=b?
Геометрический смысл интеграла Римана
Если попытаться разбить такую фигуры на «единичные квадрат
ики», то будут оставаться незаполненные «дыры» (как и в случае прямоугольников со сторонами отношение, которых не равно рациональному числу). В таком случае пытаются сделать два покрытия: прямоугольниками «сверху» и «снизу», то есть построить прямоугольники таким образом, чтобы они включали график функции или не включали. Здесь существенным является каким именно образом мы будем разбивать на прямоугольники (см. ниже). Второй момент заключается в том, что если мы будем брать разбиения всё мельче и мельче, то площадь покрытия «сверху» и площадь покрытия «снизу» должны сходится и сходится к какому-то конечному значению. Третий момент заключается в том, что площадь покрытия «сверху» и площадь покрытия «снизу» должны сходится к одному и тому же числу.
Вернёмся к способу разбиения на прямоугольники. Существует как минимум два распространённых способа.
Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке. См. подробнее Интеграл Римана.
Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо