Доказательство от противного

• Разделы:
  • См. также

Доказательство «от противного» в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы ((A⇒B)∧¬B)⇒¬A{displaystyle ((ARightarrow B)land neg B)Rightarrow neg A} в классической логике и законе двойного отрицания.

Доказательство утверждения A{displaystyle A} проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A{displaystyle A} неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B{displaystyle B}, которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение ¬¬A{displaystyle neg neg A}, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A{displaystyle A}.

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

Пример

Доказательство иррациональности числа 2{displaystyle {sqrt {2}}}.

Допустим противное: 2{displaystyle {sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби mn{displaystyle {frac {m}{n}}}, где m{displaystyle m} и n{displaystyle n} — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{displaystyle {sqrt {2}}={frac {m}{n}}Rightarrow 2={frac {m^{2}}{n^{2}}}Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

Отсюда следует, что m2{displaystyle m^{2}} чётно, значит, чётно и m{displaystyle m}; следовательно, m2{displaystyle m^{2}} делится на 4, а значит, n2{displaystyle n^{2}} и n{displaystyle n} тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби mn{displaystyle {frac {m}{n}}}.Значит, исходное предположение было неверным, и 2{displaystyle {sqrt {2}}} — иррациональное число.

См. также

• Апагогия

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Шаблон:Http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00024/27600.htm