wiki

Гомотопические группы

Разделы:

Гомотопи́ческие гру́ппы — одно из основных понятий алгебраической топологии.

Table of Contents

Содержание

1 Определение
2 Зависимость от начальной точки
3 Абелевость высших гомотопических групп
4 Относительные гомотопические группы и точная гомотопическая последовательность
5 История
6 См. также
7 Литература

Определение

Пусть X{displaystyle X}

$X$ — топологическое пространство, x0∈X{displaystyle x_{0}in X} $x_{0}in X$ ; In⊂Rn{displaystyle I^{n}subset mathbb {R} ^{n}} $I^{n}subset mathbb{R} ^{n}$ — единичный куб (In={(t1,t2,…tn):0⩽tn⩽1}{displaystyle I^{n}={(t_{1},t_{2},ldots t_{n}):0leqslant t_{n}leqslant 1}} ${displaystyle I^{n}={(t_{1},t_{2},ldots t_{n}):0leqslant t_{n}leqslant 1}}$ , ∂In{displaystyle partial I^{n}} $partial I^{n}$ — граница этого куба, то есть множество точек куба такое, что для некоторого i ti{displaystyle t_{i}} $t_{i}$ равен 0 или 1. Множество гомотопических классов [f]{displaystyle [f]} $[f]$ непрерывных отображений f:In→X{displaystyle fcolon I^{n}to X} , для которых f(∂In)=x0∈X{displaystyle f(partial I^{n})=x_{0}in X} $f(partial I^{n})=x_{0}in X$ обозначается πn(X,x0){displaystyle pi _{n}(X,x_{0})} $pi _{n}(X,x_{0})$ (причём ∂In{displaystyle partial I^{n}} $partial I^{n}$ переходит в точку x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ при всех отображениях и гомотопиях). На этом множестве можно определить умножение элементов следующим образом:

[f][g]=[f∗g]{displaystyle [f][g]=[f*g]}

$[f][g]=[f*g]$ , где

f∗g(t1,t2,…tn)=f(2t1,t2,…tn){displaystyle f*g(t_{1},t_{2},ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},ldots t_{n})}

$f*g(t_{1},t_{2},ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},ldots t_{n})$ , если 0⩽t1⩽12{displaystyle 0leqslant t_{1}leqslant {frac {1}{2}}} $0leqslant t_{1}leqslant {frac {1}{2}}$

f∗g(t1,t2,…tn)=g(2t1−1,t2,…tn){displaystyle f*g(t_{1},t_{2},ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},ldots t_{n})}

$f*g(t_{1},t_{2},ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},ldots t_{n})$ , если 12⩽t1⩽1{displaystyle {frac {1}{2}}leqslant t_{1}leqslant 1} ${frac {1}{2}}leqslant t_{1}leqslant 1$

Так как на границе куба f=g=x0{displaystyle f=g=x_{0}}

$f=g=x_{0}$ , то умножение определено корректно. Легко проверить, что [f∗g]{displaystyle [f*g]} $[f*g]$ зависит только от гомотопического класса [f]{displaystyle [f]} $[f]$ и [g]{displaystyle [g]} $[g]$ . Это умножение удовлетворяет всем аксиомам группы. В случае n=1{displaystyle n=1} $n=1$ мы имеем общеизвестное умножение замкнутых путей и, следовательно, π1(X,x0){displaystyle pi _{1}(X,x_{0})} $pi _{1}(X,x_{0})$ является фундаментальной группой. При n>1 πn(X,x0){displaystyle pi _{n}(X,x_{0})} $pi _{n}(X,x_{0})$ называются высшими гомотопическими группами.

Непрерывному отображению пространств F:(X,x0)→(Y,y0){displaystyle Fcolon (X,x_{0})to (Y,y_{0})}

$Fcolon (X,x_{0})to (Y,y_{0})$ сооветствует гомоморфизм F∗:πn(X,x0)→πn(Y,y0){displaystyle F_{*}colon pi _{n}(X,x_{0})to pi _{n}(Y,y_{0})} $F_{*}colon pi _{n}(X,x_{0})to pi _{n}(Y,y_{0})$ , причём это соответствие, как говорят, функтори