Гладкое расслоение

• Разделы:
  • Примеры
  • Свойства
  • Вариации и обобщения
  • Литература

Гладкое расслоение — локально тривиальное расслоение с гладкими функциями перехода.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Вариации и обобщения
• 5 Литература

Определение

Пусть Y{displaystyle Y}

  и X{displaystyle X}  — гладкие многообразия. Эпиморфизм многообразий π:Y→X{displaystyle pi colon Yto X}  называется гладким расслоением, если существуют: открытое покрытие (Ui){displaystyle (U_{i})}  многообразия X{displaystyle X} , многообразие V{displaystyle V}  и семейство диффеоморфизмов φi:π−1(Ui)→Ui×V{displaystyle varphi _{i}colon pi ^{-1}(U_{i})to U_{i}times V} , связанных гладкими функциями перехода ρij=φiφj−1{displaystyle rho _{ij}=varphi _{i}varphi _{j}^{-1}}  на Ui∩Uj×V{displaystyle U_{i}cap U_{j}times V} .

Гладкое расслоение является локально тривиальным расслоением с пространством расслоения Y{displaystyle Y}

 , базой X{displaystyle X} , типичным слоем V{displaystyle V}  и атласом расслоения (Ui,φi,ρij){displaystyle (U_{i},;varphi _{i},;rho _{ij})} . Замкнутое подмногообразие π−1(x)⊂Y{displaystyle pi ^{-1}(x)subset Y}  называется типичным слоем гладкого расслоения в точке x∈X{displaystyle xin X} .

Примеры

• Векторное расслоение, в частности касательное расслоение
• Главное расслоение

Свойства

• Пространство расслоения Y{displaystyle Y}  наделено координатным атласом (xμ,ya){displaystyle (x^{mu },;y^{a})} , где (ya){displaystyle (y^{a})}  — координаты на V{displaystyle V}  и (xμ){displaystyle (x^{mu })}  — координаты на X{displaystyle X} , функции перехода которых не зависят от координат (ya){displaystyle (y^{a})} .
• Для всякой точки x∈X{displaystyle xin X}  существует открытая окрестность U{displaystyle U}  и вложение s:U→Y{displaystyle scolon Uto Y} , такое что π∘s=Id(U){displaystyle pi circ s=mathrm {Id} ,(U)} . Это отображение называется (локальным) сечением гладкого расслоения.

Вариации и обобщения

• Слоение
• Суперрасслоение
• Градуированное расслоение
• Банахово и гильбертово расслоения

Литература

• Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology, vol. I—III. — N. Y.: Academic Press, 1972—1976.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886