wiki

Векторное расслоение

Разделы:

Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством X{displaystyle X} $X$ (например, X{displaystyle X} $X$ может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой):каждой точке x{displaystyle x} $x$ пространства X{displaystyle X} $X$ сопоставляется векторное пространство Vx{displaystyle V_{x}} $V_{x}$ так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и X{displaystyle X} $X$ (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над X{displaystyle X} $X$ .

Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.

Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами.В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными.Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.

Table of Contents

Содержание

1 Примеры
2 Определения и первые следствия
- 2.1 Определение 1
- 2.2 Определение 2
3 Морфизмы
4 Операции над расслоениями
5 См. также
6 Ссылки

Примеры

Простейший пример — тривиальное расслоение, которое имеет вид прямого произведения X×V{displaystyle Xtimes V} ${displaystyle Xtimes V}$ , где X{displaystyle X} $X$ — топологическое пространство, база расслоения, а V{displaystyle V} $V$ векторное пространство.
Более сложный пример — это касательное расслоение гладкого многообразия: каждой точке на многообразии сопоставляется касательное пространство к многообразию в этой точке.

Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.

Определения и первые следствия

Определение 1

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой V{displaystyle V}

$V$ является векторным пространством, снабжённым структурой группы Ли обратимых линейных преобразований V{displaystyle V} $V$ .

Определение 2

Вещественное векторное расслоение состоит из:

топологических пространств X{displaystyle X} $X$ (основного пространства) и E{displaystyle E} $E$ (полного пространства)
непрерывного отображения π:E→X{displaystyle pi colon Eto X} ${displaystyle pi colon Eto X}$ (проекция расслоения)
для любого x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ — структуры вещественного векторного пространства на слое π−1({x}){displaystyle pi ^{-1}({x})} ${displaystyle pi ^{-1}({x})}$

причём для любой точки из X{displaystyle X}

$X$ существует открытая окрестность U{displaystyle U} $U$ , натуральное число k{displaystyle k} $k$ и гомеоморфизм

φ:U×Rk→π−1(U){displaystyle varphi colon Utimes mathbb {R} ^{k}rightarrow pi ^{-1}(U)}

{displaystyle varphi colon Utimes mathbb {R} ^{k}rightarrow pi ^{-1}(U)}

такой, что для любого x∈U{displaystyle xin U}

$xin U$ ,

πφ(x,v)=x{displaystyle pi varphi (x,v)=x} ${displaystyle pi varphi (x,v)=x}$ для всех векторов v{displaystyle v} $v$ из Rk{displaystyle R^{k}}