Бицентрическая система координат

• Разделы:
  • Примечания

Бицентрические координаты — система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниеми от двух фиксированных центров (полюсов). Бицентрические координаты не следует путать с биполярными координатами.

Бицентрические координаты переводятся в декартовы координаты следующими формуламиОшибка?: некорректно задана дата установки:

x=±r2+r12−r222rcos⁡(α)±(r1+r2+r)(r1−r2−r)(r2−r1−r)(r1+r2−r)2rsin⁡(α)+x1{displaystyle x=pm {frac {r^{2}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2r}}operatorname {cos} (alpha )pm {frac {sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_{2}-r)(r_{2}-r_{1}-r)(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}operatorname {sin} (alpha )+x_{1}}

y=±r2+r12−r222rsin⁡(α)∓(r1+r2+r)(r1−r2−r)(r2−r1−r)(r1+r2−r)2rcos⁡(α)+y1{displaystyle y=pm {frac {r^{2}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2r}}operatorname {sin} (alpha )mp {frac {sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_{2}-r)(r_{2}-r_{1}-r)(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}operatorname {cos} (alpha )+y_{1}}.

Где r{displaystyle r} — расстояние между полюсами,

r1{displaystyle r_{1}} — расстояние до первого полюса,

r2{displaystyle r_{2}} — расстояние до второго полюса,

(x1;y1){displaystyle (x_{1};y_{1})} — координаты первого полюса,

(x2;y2){displaystyle (x_{2};y_{2})} — координаты второго полюса,

α=arctg⁡y2−y1x2−x1{displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {y2-y1}{x2-x1}}} — угол наклона прямой, проходящей через координаты (x1,y1);(x2,y2){displaystyle (x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2})}, относительно оси абсцисс.

Получаемые по данным формулам четыре пары координат, следует проверять на выполнение условия:

(x−x1)2−(y−y1)2=r1{displaystyle {sqrt {(x-x_{1})^{2}-(y-y_{1})^{2}}}=r_{1}}

и

(x−x2)2−(y−y2)2=r2{displaystyle {sqrt {(x-x_{2})^{2}-(y-y_{2})^{2}}}=r_{2}}

Только две пары координат из четырёх, будут удовлетворять этим условием.

Канонические формулы для перевода координат[1]:

x=r12−r224c{displaystyle x={frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}},

y=±14c16c2r12−(r12−r22+4c2){displaystyle y=pm {frac {1}{4c}}{sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})}}}.

Следующие формулы переводят бицентрические координаты в полярные координаты:

r=r12+r22−2c22{displaystyle r={sqrt {frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}},

θ=arctg⁡[8c2(r12+r22−2c2)r12−r22−1]{displaystyle theta =operatorname {arctg} left[{sqrt {{frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}right]},

где 2c{displaystyle 2c} — расстояние между полюсами.

Ссылки

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Bipolar coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.