Аффинное преобразование

Аффи́нное преобразование (от лат. affinis — соприкасающийся, близкий, смежный) — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся в пересекающиеся, скрещивающиеся в скрещивающиеся[1].

красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании (x,y)↦(y−100,2⋅x+y−100){displaystyle (x,y)mapsto (y-100,2cdot x+y-100)}, если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Содержание

Определение

Аффи́нное преобразование f:Rn→Rn{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}

  есть преобразование вида

f(x)=M⋅x+v,{displaystyle f(x)=Mcdot x+v,} 

где  M{displaystyle ~M}

  — обратимая матрица (неособенный аффинор) и v∈Rn{displaystyle vin mathbb {R} ^{n}} .

Комментарий

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

  1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат  v{displaystyle ~v} ;
  2. Каждой точке x{displaystyle x}  пространства поставить в соответствие точку f(x){displaystyle f(x)} , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x{displaystyle x}  в «старой».

Примеры

Аффинными преобразованиями являются

Свойства

  • При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
  • Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

  • Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
  • Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование f(x)=M⋅x+v{displaystyle f(x)=Mcdot x+v}

  можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

(f(x)1)=(Mv01)(x1){displaystyle {begin{pmatrix}f(x)\1end{pmatrix}}={begin{pmatrix}M&v\0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x\1end{pmatrix}}}

 

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[2]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[3].

Вариации и обобщения

  • В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } .
  • Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
  • Аффинные преобразования пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}  являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}  можно представить как аффинные преобразования пространства Rn+1{displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} .

См. также

Примечания

  1. Аффинное Преобразование
  2. OpenGL Transformation (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.
  3. Transforms (Direct3D 9) (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.

Ссылки