Аффи́нное преобразование (от лат. affinis — соприкасающийся, близкий, смежный) — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся в пересекающиеся, скрещивающиеся в скрещивающиеся[1].
красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании (x,y)↦(y−100,2⋅x+y−100){displaystyle (x,y)mapsto (y-100,2cdot x+y-100)}, если новые координаты отобразить в прежнем базисе
, если новые координаты отобразить в прежнем базисеСодержание
- 1 Определение
- 2 Примеры
- 3 Свойства
- 4 Типы аффинных преобразований
- 5 Матричное представление
- 6 Вариации и обобщения
- 7 См. также
- 8 Примечания
- 9 Ссылки
Определение
Аффи́нное преобразование f:Rn→Rn{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}
есть преобразование вида
есть преобразование вида- f(x)=M⋅x+v,{displaystyle f(x)=Mcdot x+v,}
где M{displaystyle ~M}
— обратимая матрица (неособенный аффинор) и v∈Rn{displaystyle vin mathbb {R} ^{n}} .
— 
.Комментарий
Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:
- Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат v{displaystyle ~v} ;
- Каждой точке x{displaystyle x} пространства поставить в соответствие точку f(x){displaystyle f(x)} , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x{displaystyle x} в «старой».
;
пространства поставить в соответствие точку f(x){displaystyle f(x)}
, имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x{displaystyle x}Примеры
Аффинными преобразованиями являются
Свойства
- При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
- Если размерность пространства n≥2{displaystyle {n}geq 2} [источник не указан 3852 дня], то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
- Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
- Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.
[Типы аффинных преобразований
- Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
- Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.
Матричное представление
Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование f(x)=M⋅x+v{displaystyle f(x)=Mcdot x+v}
можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:
можно записать как (f(x)1)=(Mv01)(x1){displaystyle {begin{pmatrix}f(x)\1end{pmatrix}}={begin{pmatrix}M&v\0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x\1end{pmatrix}}}
Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[2]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[3].
Вариации и обобщения
- В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } .
- Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
- Аффинные преобразования пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} можно представить как аффинные преобразования пространства Rn+1{displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} .
.
являются частным случаем 
.См. также
- Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)
Примечания
- ↑ Аффинное Преобразование
- ↑ OpenGL Transformation (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.
- ↑ Transforms (Direct3D 9) (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.
