Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.
Определения
Пусть K{displaystyle K}
— числовое поле (например R{displaystyle mathbb {R} } или C{displaystyle mathbb {C} } ),X{displaystyle X} — топологическое пространство.
- Карта — это пара (U,f){displaystyle (U,f)} , где
- U{displaystyle U} — открытое множество в X{displaystyle X}
- f{displaystyle f} — гомеоморфизм из U{displaystyle U} в открытое множество в Kn{displaystyle K^{n}}
- Если области определения двух карт (U1,f1){displaystyle ,(U_{1},f_{1})} и (U2,f2){displaystyle ,(U_{2},f_{2})} пересекаются (U1∩U2≠∅{displaystyle U_{1}cap U_{2}neq emptyset } ), то между множествами f1−1(U2){displaystyle f_{1}^{-1}(U_{2})} и f2−1(U1){displaystyle f_{2}^{-1}(U_{1})} имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями замены координат:
- f12=f1∘f2−1|f2(U1∩U2): f2(U1∩U2)→f1(U1∩U2)f21=f2∘f1−1|f1(U1∩U2): f1(U1∩U2)→f2(U1∩U2){displaystyle {begin{matrix}f_{12}=f_{1}circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{2}(U_{1}cap U_{2})to f_{1}(U_{1}cap U_{2})\f_{21}=f_{2}circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{1}(U_{1}cap U_{2})to f_{2}(U_{1}cap U_{2})end{matrix}}}
- Две карты (U1,f1){displaystyle ,(U_{1},f_{1})} и (U2,f2){displaystyle ,(U_{2},f_{2})} называются согласованными, если функции замены координат f12{displaystyle ,f_{12}} и f21{displaystyle ,f_{21}} являются
гладкими или аналитическими (в зависимости от контекста).
- Атлас — это множество согласованных карт {(Uα,fα)}{displaystyle ,{(U_{alpha },f_{alpha })}} , α∈A{displaystyle alpha in {mathcal {A}}} , такое, что {Uα}{displaystyle ,{U_{alpha }}} образует покрытие пространства X{displaystyle X} . Здесь A{displaystyle {mathcal {A}}} — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса Ck{displaystyle ,C^{k}} ) или аналитическим, если функции замены координат для всех карт гладкие (класса Ck{displaystyle ,C^{k}} ) или аналитические.
- Чаще всего используются так называемые счётные атласы, в которых множество A{displaystyle {mathcal {A}}} счётно, т.е. можно положить A=N{displaystyle {mathcal {A}}=mathbb {N} } .
Связанные определения
- Два атласа называются согласованными, если их объединение также является атласом.