Автономная система дифференциальных уравнений, стационарная система дифференциальных уравнений — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент t{displaystyle t} системы не входит явным образом в функции, задающие систему.
Автономная система в нормальном виде имеет вид:
dxkdt=fk(x1,…,xn),k=1,…,n{displaystyle {frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},…,x_{n}),,k=1,…,n}
или в векторной записи:
dx¯dt=f¯(x¯){displaystyle {frac {d{bar {x}}}{dt}}={bar {f}}({bar {x}})}
Приведение к автономному виду
Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию xn+1{displaystyle x_{n+1}}
, заменив ею аргумент t{displaystyle t} там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением dxn+1dt=1{displaystyle {frac {dx_{n+1}}{dt}}=1} . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с n{displaystyle n} на n+1{displaystyle n+1} , что усложняет структуру семейства решений.
Свойства автономной системы
Если x¯=x¯(t){displaystyle {bar {x}}={bar {x}}(t)}
— решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. x1, …, xn, и не зависят от выбора начального значения аргумента t.
