wiki

Параболическая система координат

Разделы:

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Содержание

1 Двумерные параболические координаты
2 Дифференциальные характеристики двумерных координат
3 Трёхмерные параболические координаты
4 Дифференциальные характеристики трёхмерных координат
5 Обратные преобразования
6 Внешние ссылки

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты (σ,τ){displaystyle (sigma ,;tau )}

${displaystyle (sigma ,;tau )}$ определяются выражениями

x=στ,{displaystyle x=sigma tau ,}

{displaystyle x=sigma tau ,}

y=12(τ2−σ2).{displaystyle y={frac {1}{2}}(tau ^{2}-sigma ^{2}).}

{displaystyle y={frac {1}{2}}(tau ^{2}-sigma ^{2}).}

Поверхности постоянной σ{displaystyle sigma }

$sigma$ являются конфокальными параболами

2y=x2σ2−σ2{displaystyle 2y={frac {x^{2}}{sigma ^{2}}}-sigma ^{2}}

{displaystyle 2y={frac {x^{2}}{sigma ^{2}}}-sigma ^{2}}

расширяющимися вверх (вдоль луча +y{displaystyle +y}

${displaystyle +y}$ ), а поверхности постоянной τ{displaystyle tau } $tau$ — это конфокальные параболы

2y=−x2τ2+τ2{displaystyle 2y=-{frac {x^{2}}{tau ^{2}}}+tau ^{2}}

{displaystyle 2y=-{frac {x^{2}}{tau ^{2}}}+tau ^{2}}

расширяющиеся вниз (вдоль луча −y{displaystyle -y}

${displaystyle -y}$ ). Фокусы всех парабол расположены в начале коорднат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат

Коэффициенты Ламэ для параболических кординат равны

Hσ=Hτ=σ2+τ2.{displaystyle H_{sigma }=H_{tau }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}}.}

{displaystyle H_{sigma }=H_{tau }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}}.}

Таким образом, элемент площади равен

dS=(σ2+τ2)dσdτ,{displaystyle dS=(sigma ^{2}+tau ^{2}),dsigma ,dtau ,}

{displaystyle dS=(sigma ^{2}+tau ^{2}),dsigma ,dtau ,}

а лапласиан равен

ΔΦ=1σ2+τ2(∂2Φ∂σ2+∂2Φ∂τ2).{displaystyle Delta Phi ={frac {1}{sigma ^{2}+tau ^{2}}}left({frac {partial ^{2}Phi }{partial sigma ^{2}}}+{frac {partial ^{2}Phi }{partial tau ^{2}}}right).}

{displaystyle Delta Phi ={frac {1}{sigma ^{2}+tau ^{2}}}left({frac {partial ^{2}Phi }{partial sigma ^{2}}}+{frac {partial ^{2}Phi }{partial tau ^{2}}}right).}

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость XY{displaystyle XY}

$XY$ вдоль оси z{displaystyle z} и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

{x=στcos⁡φ,y=στsin⁡φ,z=12(τ2−σ2).{displaystyle {begin{cases}x=sigma tau cos varphi ,\y=sigma tau sin varphi ,\z={dfrac {1}{2}}(tau ^{2}-sigma ^{2}).end{cases}}}

{displaystyle {begin{cases}x=sigma tau cos varphi ,\y=sigma tau sin varphi ,\z={dfrac {1}{2}}(tau ^{2}-sigma ^{2}).end{cases}}}

Ось параболоидов совпадает с осью z{displaystyle z}

$z$ , так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол φ{displaystyle varphi } $varphi$ определяется как

tgφ=yx.{displaystyle mathrm {tg} ,varphi ={frac {y}{x}}.}

{displaystyle mathrm {tg} ,varphi ={frac {y}{x}}.}

Поверхности постоянной σ{displaystyle sigma }

$sigma$ являются конфокальными параболоидами

2z=x2+y2σ2−σ2{displaystyle 2z={frac {x^{2}+y^{2}}{sigma ^{2}}}-sigma ^{2}}

{displaystyle 2z={frac {x^{2}+y^{2}}{sigma ^{2}}}-sigma ^{2}}

направленными вверх (вдоль луча +z{displaystyle +z}

${displaystyle +z}$ ), а поверхности постоянной τ{displaystyle tau } $tau$ — это конфокальные параболоиды

2z=−x2+y2τ2+τ2{displaystyle 2z=-{frac {x^{2}+y^{2}}{tau ^{2}}}+tau ^{2}}

{displaystyle 2z=-{frac {x^{2}+y^{2}}{tau ^{2}}}+tau ^{2}}

направленные вниз (вдоль луча −z{displaystyle -z}

$-z$ ). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

Hσ=σ2+τ2,{displaystyle H_{sigma }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}},}

{displaystyle H_{sigma }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}},}

Hτ=σ2+τ2,{displaystyle H_{tau }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}},}

{displaystyle H_{tau }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}},}

Hφ=στ.{displaystyle H_{varphi }=sigma tau .}

{displaystyle H_{varphi }=sigma tau .}

Как видно, коэффициенты Hσ{displaystyle H_{sigma }}

${displaystyle H_{sigma }}$ и Hτ{displaystyle H_{tau }} ${displaystyle H_{tau }}$ совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

dV=hσhτhφ=στ(σ2+τ2)dσdτdφ,{displaystyle dV=h_{sigma }h_{tau }h_{varphi }=sigma tau (sigma ^{2}+tau ^{2}),dsigma ,dtau ,dvarphi ,}

{displaystyle dV=h_{sigma }h_{tau }h_{varphi }=sigma tau (sigma ^{2}+tau ^{2}),dsigma ,dtau ,dvarphi ,}

а лапласиан равен

∇2Φ=1σ2+τ2[1σ∂∂σ(σ∂Φ∂σ)+1τ∂∂τ(τ∂Φ∂τ)]+1σ2τ2∂2Φ∂φ2.{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{sigma ^{2}+tau ^{2}}}left[{frac {1}{sigma }}{frac {partial }{partial sigma }}left(sigma {frac {partial Phi }{partial sigma }}right)+{frac {1}{tau }}{frac {partial }{partial tau }}left(tau {frac {partial Phi }{partial tau }}right)right]+{frac {1}{sigma ^{2}tau ^{2}}}{frac {partial ^{2}Phi }{partial varphi ^{2}}}.}

{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{sigma ^{2}+tau ^{2}}}left[{frac {1}{sigma }}{frac {partial }{partial sigma }}left(sigma {frac {partial Phi }{partial sigma }}right)+{frac {1}{tau }}{frac {partial }{partial tau }}left(tau {frac {partial Phi }{partial tau }}right)right]+{frac {1}{sigma ^{2}tau ^{2}}}{frac {partial ^{2}Phi }{partial varphi ^{2}}}.}

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Обратные преобразования

Переход от декартовых координат (x,y,z){displaystyle (x,;y,;z)}

$(x,;y,;z)$ к параболическим (η,ξ,φ){displaystyle (eta ,;xi ,;varphi )} ${displaystyle (eta ,;xi ,;varphi )}$ осуществляется по формулам:

{η=−z+x2+y2+z2,ξ=z+x2+y2+z2,φ=arctgyx,{displaystyle {begin{cases}eta =-z+{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\xi =z+{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\varphi =mathrm {arctg} {dfrac {y}{x}},end{cases}}}

{displaystyle {begin{cases}eta =-z+{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\xi =z+{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\varphi =mathrm {arctg} {dfrac {y}{x}},end{cases}}}

при этом η⩾0,ξ⩾0.{displaystyle eta geqslant 0,quad xi geqslant 0.}

${displaystyle eta geqslant 0,quad xi geqslant 0.}$

|dηdξdφ|=|xx2+y2+z2yx2+y2+z2−1+zx2+y2+z2xx2+y2+z2yx2+y2+z21+zx2+y2+z2−yx2+y2xx2+y20|⋅|dxdydz|.{displaystyle {begin{vmatrix}deta \dxi \dvarphi end{vmatrix}}={begin{vmatrix}{dfrac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{dfrac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{dfrac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\{dfrac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{dfrac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{dfrac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\{dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0end{vmatrix}}cdot {begin{vmatrix}dx\dy\dzend{vmatrix}}.}

{displaystyle {begin{vmatrix}deta \dxi \dvarphi end{vmatrix}}={begin{vmatrix}{dfrac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{dfrac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{dfrac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\{dfrac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{dfrac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{dfrac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\{dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0end{vmatrix}}cdot {begin{vmatrix}dx\dy\dzend{vmatrix}}.}

При φ=0{displaystyle varphi =0}

$varphi =0$ получаем ограничение координат на плоскость XZ{displaystyle XZ} ${displaystyle XZ}$ :

η=−z+x2+z2,{displaystyle eta =-z+{sqrt {x^{2}+z^{2}}},}

{displaystyle eta =-z+{sqrt {x^{2}+z^{2}}},}

ξ=z+x2+z2.{displaystyle xi =z+{sqrt {x^{2}+z^{2}}}.}

{displaystyle xi =z+{sqrt {x^{2}+z^{2}}}.}

Линия уровня η=c{displaystyle eta =c}

${displaystyle eta =c}$ :

z|η=c=x22c−c2.{displaystyle z|_{eta =c}={frac {x^{2}}{2c}}-{frac {c}{2}}.}

{displaystyle z|_{eta =c}={frac {x^{2}}{2c}}-{frac {c}{2}}.}

Это парабола, фокус которой при любом c{displaystyle c}

$c$ расположен в начале координат.

Аналогично при ξ=c{displaystyle xi =c}

${displaystyle xi =c}$ получаем

z|ξ=c=c2−x22c.{displaystyle z|_{xi =c}={frac {c}{2}}-{frac {x^{2}}{2c}}.}

{displaystyle z|_{xi =c}={frac {c}{2}}-{frac {x^{2}}{2c}}.}

Координатные параболы пересекаются в точке

P:(bc,b−c2).{displaystyle P:left({sqrt {bc}},;{frac {b-c}{2}}right).}

{displaystyle P:left({sqrt {bc}},;{frac {b-c}{2}}right).}

Пара парабол пересекается в двух точках, но при φ=0{displaystyle varphi =0}

$varphi =0$ точка оказывается заключена в полуплоскости x>0{displaystyle x>0} $x>0$ , так как x<0{displaystyle x<0} $x<0$ соответствует φ=π{displaystyle varphi =pi } $varphi =pi$ .

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке P{displaystyle P}

$P$ :

dzcdx=xc=bcc=bc=sc,{displaystyle {frac {dz_{c}}{dx}}={frac {x}{c}}={frac {sqrt {bc}}{c}}={sqrt {frac {b}{c}}}=s_{c},}

{displaystyle {frac {dz_{c}}{dx}}={frac {x}{c}}={frac {sqrt {bc}}{c}}={sqrt {frac {b}{c}}}=s_{c},}

dzbdx=−xb=−bcb=−cb=sb;{displaystyle {frac {dz_{b}}{dx}}=-{frac {x}{b}}={frac {-{sqrt {bc}}}{b}}=-{sqrt {frac {c}{b}}}=s_{b};}

{displaystyle {frac {dz_{b}}{dx}}=-{frac {x}{b}}={frac {-{sqrt {bc}}}{b}}=-{sqrt {frac {c}{b}}}=s_{b};}

scsb=−bccb=−1.{displaystyle s_{c}s_{b}=-{sqrt {frac {b}{c}}}{sqrt {frac {c}{b}}}=-1.}

{displaystyle s_{c}s_{b}=-{sqrt {frac {b}{c}}}{sqrt {frac {c}{b}}}=-1.}

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара (ξ;η){displaystyle (xi ;;eta )}

${displaystyle (xi ;;eta )}$ определяет координаты в полуплоскости. При изменении φ{displaystyle varphi } $varphi$ от 0 до 2π{displaystyle 2pi } $2pi$ полуплоскость вращается вокруг оси z{displaystyle z} $z$ , в качестве координатных поверхностей получются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина φ{displaystyle varphi } $varphi$ определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

{x=ξηcos⁡φ,y=ξηsin⁡φ,z=12(ξ−η).{displaystyle {begin{cases}x={sqrt {xi eta }}cos varphi ,\y={sqrt {xi eta }}sin varphi ,\z={dfrac {1}{2}}(xi -eta ).end{cases}}}

{displaystyle {begin{cases}x={sqrt {xi eta }}cos varphi ,\y={sqrt {xi eta }}sin varphi ,\z={dfrac {1}{2}}(xi -eta ).end{cases}}}

|dxdydz|=|12ξηcos⁡φ12ηξcos⁡φ−ξηsin⁡φ12ξηsin⁡φ12ηξsin⁡φξηcos⁡φ−12120|⋅|dηdξdφ|.{displaystyle {begin{vmatrix}dx\dy\dzend{vmatrix}}={begin{vmatrix}{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {xi }{eta }}}cos varphi &{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {eta }{xi }}}cos varphi &-{sqrt {xi eta }}sin varphi \{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {xi }{eta }}}sin varphi &{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {eta }{xi }}}sin varphi &{sqrt {xi eta }}cos varphi \-{dfrac {1}{2}}&{dfrac {1}{2}}&0end{vmatrix}}cdot {begin{vmatrix}deta \dxi \dvarphi end{vmatrix}}.}

{displaystyle {begin{vmatrix}dx\dy\dzend{vmatrix}}={begin{vmatrix}{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {xi }{eta }}}cos varphi &{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {eta }{xi }}}cos varphi &-{sqrt {xi eta }}sin varphi \{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {xi }{eta }}}sin varphi &{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {eta }{xi }}}sin varphi &{sqrt {xi eta }}cos varphi \-{dfrac {1}{2}}&{dfrac {1}{2}}&0end{vmatrix}}cdot {begin{vmatrix}deta \dxi \dvarphi end{vmatrix}}.}

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.