Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе.
Содержание
Отрезок в геометрии
Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. При этом сама точка в геометрии является абстрактным объектом, не имеющим никаких измеряемых характеристик. Отрезок прямой, соединяющий две точки A{displaystyle ;A}
и B{displaystyle ;B} (которые называются концами отрезка), обозначается символом AB{displaystyle AB} . Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают |AB|{displaystyle |AB|} .
Направленный отрезок
Основная статья: Вектор (математика)
Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{displaystyle AB}
и BA{displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки AB{displaystyle AB} и BA{displaystyle BA} не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывае
тся особо.
Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.
Отрезок числовой прямой
Отрезок числовой (координатной) прямой (числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел {x} {displaystyle {x}~}
, удовлетворяющих неравенству a≤x≤b{displaystyle aleq xleq b} , где заранее заданные вещественные числа a {displaystyle a~} и b {displaystyle b~} (a<b) {displaystyle (a<b)~} называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа x {displaystyle x~} , удовлетворяющие неравенству a<x<b {displaystyle a<x<b~} , называются внутренними точками отрезка[1].
Отрезок обычно обозначается концевыми числами:
- [a,b]={x∈R∣a≤x≤b}{displaystyle [a,b]={xin mathbb {R} mid aleq xleq b}} .
Любой отрезок, как подмножество {x} {displaystyle {x}~}
вещественных чисел, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.
Число b−a{displaystyle b-a,}
называется длиной числового отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]} .
Стягивающаяся система сегментов
Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой {[a,b]|a,b∈R∧a<b}{displaystyle {[a,b]|a,bin mathbb {R} land a<b}}
.
Система сегментов обозначается {[an,bn]}n=1∞{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}
. Подразумевается, что каждому натуральному числу n{displaystyle ~n} поставлен в соответствие отрезок [an,bn]{displaystyle ~[a_{n},b_{n}]} .
Система сегментов {[an
,bn]}n=1∞{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}
называется стягивающейся, если[2]
- каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
- ∀n∈N:[an+1,bn+1]⊆[an,bn]{displaystyle forall nin mathbb {N} colon [a_{n+1},b_{n+1}]subseteq [a_{n},b_{n}]}
- соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
- limn→∞(bn−an)=0{displaystyle lim _{nto infty }(b_{n}-a_{n})=0}
У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.
- ∀{[an,bn]}n=1∞ ∃!c∈R ∀n∈N:c∈[an,bn]{displaystyle forall {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }~exists !cin mathbb {R} ~forall nin Ncolon cin [a_{n},b_{n}]}
Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.
Примечания
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
См. также
Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |