wiki

Неподвижная точка

В математике, неподвижная точка отображения — точка, которую отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения f(x)=x{displaystyle f(x)=x}.

Отображение с тремя неподвижными точками

К примеру, отображение f(x)=x2−3x+3{displaystyle f(x)=x^{2}-3x+3} имеет неподвижные точки x=1{displaystyle x=1} и x=3{displaystyle x=3}, поскольку f(1)=1{displaystyle f(1)=1} и f(3)=3{displaystyle f(3)=3}.

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение f(x)=x+1{displaystyle f(x)=x+1} вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

f(f(…f(x)…))=x,{displaystyle f(f(dots f(x)dots ))=x,}

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода 1).

Притягивающие неподвижные точки

  Нахождение решения уравнения x=cos x

Неподвижная точка x=f(x) отображения f — притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут к x стремиться:

f(f(…f(y)…⏟ntimes))→x,n→∞.{displaystyle f(f(underbrace {dots f(y)dots } _{n,{text{times}}}))rightarrow x,quad nrightarrow infty .} 

(При этом, обычно, требуют, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — то есть, чтобы точка x была асимптотически устойчива.)

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие на производную: |f'(x)|<1.

Метод Ньютона

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: искомое решение оказывается притягивающей неподвижной точкой построенного отображения, и потому может быть найдено как предел (очень быстро сходящейся) последовательности итераций.

Наиболее известное применение этого метода нахождение квадратного корня из числа a>0 как последовательности итераций отображения

f(x)=x+ax2.{displaystyle f(x)={cfrac {x+{frac {a}{x}}}{2}}.} 

См. также

Читайте также