Многоугольник

• Разделы:
  • Связанные определения
  • Виды многоугольников и их свойства
  • Общие свойства
  • Вариации и обобщения
  • Примечания

У этого термина существуют и другие значения, см. Многоугольник (значения).

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым[1].

Различные типы многоугольников

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Содержание

• 1 Варианты определений
• 2 Связанные определения
• 3 Виды многоугольников и их свойства
• 4 Общие свойства
  • 4.1 Теорема о сумме углов многоугольника
  • 4.2 Число диагоналей
  • 4.3 Площадь
  • 4.4 Квадрируемость фигур
• 5 Вариации и обобщения
• 6 Примечания

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым[1].

• Плоская
  замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве и др.[1].

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить 180∘{displaystyle 180^{circ }}  в том случае, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между 180∘{displaystyle 180^{circ }}  и внутренним углом, он может принимать значения от −180∘{displaystyle -180^{circ }}  до 180∘{displaystyle 180^{circ }} .

Виды многоугольников и их свойства

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с n{displaystyle n}  вершинами называется n{displaystyle n} -угольником.

  Многоугольник, вписанный в окружность  Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного n{displaystyle n} -угольника равен {n}{displaystyle {n}} .
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.[2] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойства

Теорема о сумме углов многоугольника

• Сумма внутренних углов плоского n{displaystyle n} -угольника без самопересечений равна 180∘(n−2){displaystyle 180^{circ }(n-2)} .

Число диагоналей

• Число диагоналей всякого n{displaystyle n} -угольника равно n(n−3)2{displaystyle {tfrac {n(n-3)}{2}}} .

Площадь

• Пусть {(Xi,Yi)},i=1,2,…,n{displaystyle {(X_{i},Y_{i})},i=1,2,…,n}  — последовательность координат соседних друг другу вершин n{displaystyle n} -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S=12|∑i=1n(Xi+Xi+1)(Yi−Yi+1)|{displaystyle S={frac {1}{2}}left|sum limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})right|} , где (Xn+1,Yn+1)=(X1,Y1){displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})} .

• Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [3].

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F{displaystyle F}

  называется квадрируемой, если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0}  существует пара многоугольников P{displaystyle P}  и Q{displaystyle Q} , таких, что P⊂F⊂Q{displaystyle Psubset Fsubset Q}  и S(Q)−S(P)<ε{displaystyle S(Q)-S(P)<varepsilon } , где S(P){displaystyle S(P)}  обозначает площадь P{displaystyle P} .

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Примечания

1. ↑ 1 2 3 Многоугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 749—752.
2. ↑ Картаслов.ру
3. ↑ Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона// Матем. просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12–15

	В Викисловаре есть статья «многоугольник»

•  Медиафайлы на Викискладе