Лемма Гаусса о геодезических утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через эту точку.
Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также она имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.
Формулировка
Пусть Tp{displaystyle T_{p}}
обозначает касательное пространство в точке p{displaystyle p} риманова многообразия (M,g){displaystyle (M,g)} и expp:Tp→M{displaystyle exp _{p}colon T_{p}to M} — экспоненциальное отображение.Заметим что для любого вектора x∈Tp{displaystyle xin T_{p}} касательное пространство к касательному пространству TxTp{displaystyle T_{x}T_{p}} можно отождествить с самим касательным пространством Tp{displaystyle T_{p}} .
обозначает 
и expp:Tp→M{displaystyle exp _{p}colon T_{p}to M}
— 
касательное пространство к касательному пространству TxTp{displaystyle T_{x}T_{p}}
можно отождествить с самим касательным пространством Tp{displaystyle T_{p}}Для любых x,v∈Tp{displaystyle x,vin T_{p}}
- g((dxexpp)(v),(dxexpp)(x))=⟨v,x⟩,{displaystyle g((d_{x}exp _{p})(v),(d_{x}exp _{p})(x))=langle v,xrangle ,}
где dxexpp:Tp=TxTp→Texppx{displaystyle d_{x}exp _{p}colon T_{p}=T_{x}T_{p}to T_{exp _{p}x}}
обозначает дифференциал экспоненциального отображения.
обозначает 