Существуют две основных модификации:касательный вектор в точке p{displaystyle p} подмногообразия и его обобщение касательный вектор в точке p{displaystyle p} многообразия.
Совокупность всех касательных векторов в точке p{displaystyle p} образует векторное пространство, которое называется касательным пространствомв точке p{displaystyle p}. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.
Содержание
Касательный вектор к подмногообразию
Касательный вектор в точке p{displaystyle p}
гладкого подмногообразия M{displaystyle M} евклидова пространства — вектор скорости в точке p{displaystyle p} некоторой кривой в M{displaystyle M} .
Иначе говоря, касательный вектор в точке p{displaystyle p}
подмногообразия, локально заданного параметрически:
- r:Rm→Rn{displaystyle r:mathbb {R} ^{m}to mathbb {R} ^{n}} с p=r(0) {displaystyle p=r(0) }
есть произвольная линейная комбинация частных производных ∂r∂xi(0){displaystyle {frac {partial r}{partial x_{i}}}(0)}
.
Замечания
- Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости C1{displaystyle C^{1}} .
- Согласно теореме Уитни о вложении , любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}} . По этому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать, независимость определения от вложения.
Абстрактные гладкие многообразия
Касательный вектор как класс эквивалентности путей
Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в
Rn задан гладкий путь f:[0,1]→Rn{displaystyle mathbf {f} :[0,1]rightarrow mathbb {R} ^{n}}
:
- f(t)=f1(t)e1+f2(t)e2+⋯+fn(t)en{displaystyle mathbf {f} (t)=f_{1}(t)mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)mathbf {e} _{2}+dots +f_{n}(t)mathbf {e} _{n}}
Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь l(t){displaystyle mathbf {l} (t)}
, который его касается в момент времени t0:
- l(t)=f(t0)+(t−t0)(∂f1∂x1(t0)e1+∂f2∂x2(t0)e2+⋯+∂fn∂xn(t0)en){displaystyle mathbf {l} (t)=mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})left({partial f_{1} over partial x_{1}}(t_{0})mathbf {e} _{1}+{partial f_{2} over partial x_{2}}(t_{0})mathbf {e} _{2}+dots +{partial f_{n} over partial x_{n}}(t_{0})mathbf {e} _{n}right)}
Касание двух путей означает, что разность f(t)−f′(t)=o(t−t0){displaystyle mathbf {f} (t)-mathbf {f’} (t)=o(t-t_{0})}
; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности.Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.
Касательный вектор как дифференцирование в точке
Пусть M{displaystyle M}
— гладкое многообразие.Рассмотрим пространство операторов X{displaystyle X} , сопоставляющих каждой гладкой функции f:M→R{displaystyle f:Mto mathbb {R} } число Xf{displaystyle Xf} и обладающих следующими свойствами:
- аддитивность: X(f+h)=Xf+Xh,{displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,}
- правило Лейбница: X(fh)=(Xf)⋅h(p)+f(p)⋅(Xh).{displaystyle X(fh)=(Xf)cdot h(p)+f(p)cdot (Xh).}
Множество всех таких операторов в точке p{displaystyle p}
имеет естественную структуру линейного пространства, именно:
- (X+Y)f=Xf+Yf;{displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}
- (k⋅X)f=k⋅(Xf).{displaystyle (kcdot X)f=kcdot (Xf).}
Это пространство назовем касательным к многообразию M{displaystyle M}
в точке p{displaystyle p} пространством, а его элементы — касательными векторами.
