Обратная матрица

Разделы:

Обра́тная ма́трица — такая мматрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

AA−1=A−1A=E{displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}

{displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Содержание

1 Свойства обратной матрицы
2 Способы нахождения обратной матрицы
- 2.1 Точные (прямые) методы
- 2.2 Итерационные методы
3 Примеры
- 3.1 Матрица 2 × 2
4 Примечания
5 Ссылки

Свойства обратной матрицы

detA−1=1detA{displaystyle det A^{-1}={frac {1}{det A}}} $det A^{{-1}}={frac {1}{det A}}$ , где det{displaystyle det } $det$ обозначает определитель.
(AB)−1=B−1A−1{displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} $(AB)^{{-1}}=B^{{-1}}A^{{-1}}$ для двух квадратных обратимых матриц A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ .
(AT)−1=(A−1)T{displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} $(A^{T})^{{-1}}=(A^{{-1}})^{T}$ , где (…)T{displaystyle (…)^{T}} $(...)^{T}$ обозначает транспонированную матрицу.
(kA)−1=k−1A−1{displaystyle (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}} $(kA)^{{-1}}=k^{{-1}}A^{{-1}}$ для любого коэффициента k≠0{displaystyle knot =0} $knot =0$ .
E−1=E{displaystyle E^{-1}=E} $E^{{-1}}=E$ .
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax=b{displaystyle Ax=b} $Ax=b$ , (b — ненулевой вектор) где x{displaystyle x} $x$ — искомый вектор, и если A−1{displaystyle A^{-1}} $A^{{-1}}$ существует, то x=A−1b{displaystyle x=A^{-1}b} $x=A^{{-1}}b$ . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Жордана—Гаусса

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi{displaystyle Lambda _{i}}

$Lambda _{i}$ (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Λ1⋅⋯⋅Λn⋅A=ΛA=E⇒Λ=A−1{displaystyle Lambda _{1}cdot dots cdot Lambda _{n}cdot A=Lambda A=ERightarrow Lambda =A^{-1}}

Lambda _{1}cdot dots cdot Lambda _{n}cdot A=Lambda A=ERightarrow Lambda =A^{{-1}}

Λm=[1…0−a1m/amm0…0…0…1−am−1m/amm0…00…01/amm0…00…0−am+1m/amm1…0…0…0−anm/amm0…1]{displaystyle Lambda _{m}={begin{bmatrix}1&dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&dots &0&&&dots &&&&dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&dots &0&dots &0&1/a_{mm}&0&dots &0&dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&dots &0&&&dots &&&&dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&dots &1end{bmatrix}}}

Lambda _{m}={begin{bmatrix}1&dots &0&-a_{{1m}}/a_{{mm}}&0&dots &0&&&dots &&&�&dots &1&-a_{{m-1m}}/a_{{mm}}&0&dots &0�&dots &0&1/a_{{mm}}&0&dots &0�&dots &0&-a_{{m+1m}}/a_{{mm}}&1&dots &0&&&dots &&&�&dots &0&-a_{{nm}}/a_{{mm}}&0&dots &1end{bmatrix}}

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ{displaystyle Lambda }

$Lambda$ , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n3){displaystyle O(n^{3})} $O(n^{3})$ .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Матрица, обратная матрице A{displaystyle A}

$A$ , представима в виде

A−1=adj(A)det(A){displaystyle {A}^{-1}={{{mbox{adj}}(A)} over {det(A)}}}

{displaystyle {A}^{-1}={{{mbox{adj}}(A)} over {det(A)}}}

где adj(A){displaystyle {mbox{adj}}(A)}

${mbox{adj}}(A)$ — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы).

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение AX=In{displaystyle AX=I_{n}}

$AX=I_{n}$ для обратной матрицы X{displaystyle X} $X$ можно рассматривать как совокупность n{displaystyle n} $n$ систем вида Ax=b{displaystyle Ax=b} $Ax=b$ . Обозначим i{displaystyle i} $i$ -й столбец матрицы X{displaystyle X} $X$ через Xi{displaystyle X_{i}} $X_{i}$ ; тогда AXi=ei{displaystyle AX_{i}=e_{i}} $AX_{i}=e_{i}$ , i=1,…,n{displaystyle i=1,ldots ,n} $i=1,ldots ,n$ , поскольку i{displaystyle i} $i$ -м столбцом матрицы In{displaystyle I_{n}} $I_{n}$ является единичный вектор ei{displaystyle e_{i}} $e_{i}$ . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA=LU{displaystyle PA=LU}

$PA=LU$ . Пусть PA=B{displaystyle PA=B} $PA=B$ , B−1=D{displaystyle B^{-1}=D} $B^{{-1}}=D$ . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D=U−1L−1{displaystyle D=U^{-1}L^{-1}} $D=U^{{-1}}L^{{-1}}$ . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD=L−1{displaystyle UD=L^{-1}} $UD=L^{{-1}}$ и DL=U−1{displaystyle DL=U^{-1}} $DL=U^{{-1}}$ . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n(n+1)2{displaystyle {frac {n(n+1)}{2}}} ${frac {n(n+1)}{2}}$ , из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n(n−1)2{displaystyle {frac {n(n-1)}{2}}} ${frac {n(n-1)}{2}}$ , из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно рекуррентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)−1 = A−1P−1 = B−1 = D получаем равенство A−1=DP{displaystyle A^{-1}=DP} $A^{{-1}}=DP$ .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D, но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

{Ψk=E−AUk,Uk+1=Uk∑i=0nΨki{displaystyle {begin{cases}Psi _{k}=E-AU_{k},U_{k+1}=U_{k}sum _{i=0}^{n}Psi _{k}^{i}end{cases}}}

${begin{cases}Psi _{k}=E-AU_{k},U_{{k+1}}=U_{k}sum _{{i=0}}^{n}Psi _{k}^{i}end{cases}}$

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения U0{displaystyle U_{0}}

$U_{0}$ в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U0{displaystyle U_{0}} $U_{0}$ , обеспечивающие выполнение условия ρ(Ψ0)<1{displaystyle rho (Psi _{0})<1} ${displaystyle rho (Psi _{0})<1}$ (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы AAT{displaystyle AA^{T}} ${displaystyle AA^{T}}$ (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и ρ(A)≤β{displaystyle rho (A)leq beta } ${displaystyle rho (A)leq beta }$ , то можно взять U0=αE{displaystyle U_{0}={alpha }E} ${displaystyle U_{0}={alpha }E}$ , где α∈(0,2β){displaystyle alpha in left(0,{frac {2}{beta }}right)} ${displaystyle alpha in left(0,{frac {2}{beta }}right)}$ ; если же A — произвольная невырожденная матрица и ρ(AAT)≤β{displaystyle rho (AA^{T})leq beta } ${displaystyle rho (AA^{T})leq beta }$ , то полагают U0=αAT{displaystyle U_{0}={alpha }A^{T}} ${displaystyle U_{0}={alpha }A^{T}}$ , где также α∈(0,2β){displaystyle alpha in left(0,{frac {2}{beta }}right)} ${displaystyle alpha in left(0,{frac {2}{beta }}right)}$ ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ(AAT)≤kAATk{displaystyle rho (AA^{T})leq {mathcal {k}}AA^{T}{mathcal {k}}} ${displaystyle rho (AA^{T})leq {mathcal {k}}AA^{T}{mathcal {k}}}$ , положить U0=AT‖AAT‖{displaystyle U_{0}={frac {A^{T}}{|AA^{T}|}}} ${displaystyle U_{0}={frac {A^{T}}{|AA^{T}|}}}$ ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖Ψ0‖{displaystyle |Psi _{0}|} ${displaystyle |Psi _{0}|}$ будет малой (возможно, даже окажется ‖Ψ0‖>1{displaystyle |Psi _{0}|>1} ${displaystyle |Psi _{0}|>1}$ ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры

Матрица 2 × 2

A−1=[abcd]−1=1detA[d−b−ca]=1ad−bc[d−b−ca]{displaystyle mathbf {A} ^{-1}={begin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix}}^{-1}={frac {1}{det mathbf {A} }}{begin{bmatrix}d&-b-c&aend{bmatrix}}={frac {1}{ad-bc}}{begin{bmatrix}d&-b-c&aend{bmatrix}}}

{displaystyle mathbf {A} ^{-1}={begin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix}}^{-1}={frac {1}{det mathbf {A} }}{begin{bmatrix}d&-b-c&aend{bmatrix}}={frac {1}{ad-bc}}{begin{bmatrix}d&-b-c&aend{bmatrix}}}

[2]

Обращение матрицы 2 × 2 возможно только при условии, что ad−bc=detA≠0{displaystyle ad-bc=det Aneq 0}

$ad-bc=det Aneq 0$ .

Примечания

↑ Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (с. 700).
↑ Как найти обратную матрицу? (неопр.) mathprofi.ru. Дата обращения: 18 октября 2017.

Ссылки

Реализация с полным выбором ведущего элемента на C++

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (14 мая 2011)